Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62082 / 35082
↖ ↑ ↗
← N 63.847933°
W  9.486694°		 ← 134.62 m → N 63.847933°
W  9.483948°		 →
↑
134.62 m
↓
↑
134.62 m
↓
N 63.846722°
W  9.486694°		 ← 134.62 m →
18 123 m²		 N 63.846722°
W  9.483948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473651885986328 y=0.267658233642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473651885986328 × 217)
    floor (0.473651885986328 × 131072)
    floor (62082.5)     		tx = 62082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267658233642578 × 217)
    floor (0.267658233642578 × 131072)
    floor (35082.5)     		ty = 35082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62082 / 35082 ti = "17/62082/35082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62082/35082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62082 ÷ 217
    62082 ÷ 131072     		x = 0.473648071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35082 ÷ 217
    35082 ÷ 131072     		y = 0.267654418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473648071289062 × 2 - 1) × π
    -0.052703857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16557405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267654418945312 × 2 - 1) × π
    0.464691162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.45987034102919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16557405} λ = -0.16557405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45987034102919))-π/2
    2×atan(4.30540125825756)-π/2
    2×1.342576487366-π/2
    2.685152974732-1.57079632675     		φ = 1.11435665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16557405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.486694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11435665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.847933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62082 KachelY 35082 -0.16557405 1.11435665 -9.486694 63.847933
    Oben rechts KachelX + 1 62083 KachelY 35082 -0.16552611 1.11435665 -9.483948 63.847933
    Unten links KachelX 62082 KachelY + 1 35083 -0.16557405 1.11433552 -9.486694 63.846722
    Unten rechts KachelX + 1 62083 KachelY + 1 35083 -0.16552611 1.11433552 -9.483948 63.846722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11435665-1.11433552) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dl = 134.619229999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11435665-1.11433552) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dr = 134.619229999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16557405--0.16552611) × cos(1.11435665) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440755063487212 × 6371000     		do = 134.617941424318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16557405--0.16552611) × cos(1.11433552) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440774030256071 × 6371000     		du = 134.623734363732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11435665)-sin(1.11433552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440755063487212-0.440774030256071)×R²
    abs(-0.16552611--0.16557405)×1.89667688587081e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89667688587081e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89667688587081e-05×40589641000000     		ar = 18122.5535397192m²