Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62081 / 77962
↖ ↑ ↗
← S 32.273200°
W  9.489441°		 ← 258.24 m → S 32.273200°
W  9.486694°		 →
↑
258.22 m
↓
↑
258.22 m
↓
S 32.275522°
W  9.489441°		 ← 258.23 m →
66 681 m²		 S 32.275522°
W  9.486694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473644256591797 y=0.594806671142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473644256591797 × 217)
    floor (0.473644256591797 × 131072)
    floor (62081.5)     		tx = 62081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594806671142578 × 217)
    floor (0.594806671142578 × 131072)
    floor (77962.5)     		ty = 77962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62081 / 77962 ti = "17/62081/77962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62081/77962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62081 ÷ 217
    62081 ÷ 131072     		x = 0.473640441894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77962 ÷ 217
    77962 ÷ 131072     		y = 0.594802856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473640441894531 × 2 - 1) × π
    -0.0527191162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16562199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594802856445312 × 2 - 1) × π
    -0.189605712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.595663914678818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16562199} λ = -0.16562199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.595663914678818))-π/2
    2×atan(0.551196496916785)-π/2
    2×0.50376136245919-π/2
    1.00752272491838-1.57079632675     		φ = -0.56327360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16562199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.489441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56327360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.273200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62081 KachelY 77962 -0.16562199 -0.56327360 -9.489441 -32.273200
    Oben rechts KachelX + 1 62082 KachelY 77962 -0.16557405 -0.56327360 -9.486694 -32.273200
    Unten links KachelX 62081 KachelY + 1 77963 -0.16562199 -0.56331413 -9.489441 -32.275522
    Unten rechts KachelX + 1 62082 KachelY + 1 77963 -0.16557405 -0.56331413 -9.486694 -32.275522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56327360--0.56331413) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dl = 258.216629999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56327360--0.56331413) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dr = 258.216629999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16562199--0.16557405) × cos(-0.56327360) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.845511683199281 × 6371000     		do = 258.241031519766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16562199--0.16557405) × cos(-0.56331413) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.845490041230823 × 6371000     		du = 258.234421505535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56327360)-sin(-0.56331413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845511683199281-0.845490041230823)×R²
    abs(-0.16557405--0.16562199)×2.16419684584412e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16419684584412e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16419684584412e-05×40589641000000     		ar = 66681.2754880003m²