Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62081 / 74361
↖ ↑ ↗
← S 23.546363°
W  9.489441°		 ← 280 m → S 23.546363°
W  9.486694°		 →
↑
280.01 m
↓
↑
280.01 m
↓
S 23.548881°
W  9.489441°		 ← 279.99 m →
78 399 m²		 S 23.548881°
W  9.486694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473644256591797 y=0.567333221435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473644256591797 × 217)
    floor (0.473644256591797 × 131072)
    floor (62081.5)     		tx = 62081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567333221435547 × 217)
    floor (0.567333221435547 × 131072)
    floor (74361.5)     		ty = 74361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62081 / 74361 ti = "17/62081/74361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62081/74361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62081 ÷ 217
    62081 ÷ 131072     		x = 0.473640441894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74361 ÷ 217
    74361 ÷ 131072     		y = 0.567329406738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473640441894531 × 2 - 1) × π
    -0.0527191162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16562199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567329406738281 × 2 - 1) × π
    -0.134658813476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.423043139146996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16562199} λ = -0.16562199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423043139146996))-π/2
    2×atan(0.655050374187896)-π/2
    2×0.579917382319322-π/2
    1.15983476463864-1.57079632675     		φ = -0.41096156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16562199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.489441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41096156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.546363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62081 KachelY 74361 -0.16562199 -0.41096156 -9.489441 -23.546363
    Oben rechts KachelX + 1 62082 KachelY 74361 -0.16557405 -0.41096156 -9.486694 -23.546363
    Unten links KachelX 62081 KachelY + 1 74362 -0.16562199 -0.41100551 -9.489441 -23.548881
    Unten rechts KachelX + 1 62082 KachelY + 1 74362 -0.16557405 -0.41100551 -9.486694 -23.548881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41096156--0.41100551) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dl = 280.005450000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41096156--0.41100551) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dr = 280.005450000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16562199--0.16557405) × cos(-0.41096156) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.916737112106414 × 6371000     		do = 279.995110850543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16562199--0.16557405) × cos(-0.41100551) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.916719553591133 × 6371000     		du = 279.98974802802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41096156)-sin(-0.41100551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916737112106414-0.916719553591133)×R²
    abs(-0.16557405--0.16562199)×1.75585152816238e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.75585152816238e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.75585152816238e-05×40589641000000     		ar = 78399.4062144125m²