Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62081 / 35085
↖ ↑ ↗
← N 63.844301°
W  9.489441°		 ← 134.64 m → N 63.844301°
W  9.486694°		 →
↑
134.62 m
↓
↑
134.62 m
↓
N 63.843090°
W  9.489441°		 ← 134.64 m →
18 125 m²		 N 63.843090°
W  9.486694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473644256591797 y=0.267681121826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473644256591797 × 217)
    floor (0.473644256591797 × 131072)
    floor (62081.5)     		tx = 62081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267681121826172 × 217)
    floor (0.267681121826172 × 131072)
    floor (35085.5)     		ty = 35085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62081 / 35085 ti = "17/62081/35085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62081/35085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62081 ÷ 217
    62081 ÷ 131072     		x = 0.473640441894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35085 ÷ 217
    35085 ÷ 131072     		y = 0.267677307128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473640441894531 × 2 - 1) × π
    -0.0527191162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16562199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267677307128906 × 2 - 1) × π
    0.464645385742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.45972653033033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16562199} λ = -0.16562199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45972653033033))-π/2
    2×atan(4.30478214001271)-π/2
    2×1.34254479267337-π/2
    2.68508958534674-1.57079632675     		φ = 1.11429326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16562199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.489441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11429326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.844301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62081 KachelY 35085 -0.16562199 1.11429326 -9.489441 63.844301
    Oben rechts KachelX + 1 62082 KachelY 35085 -0.16557405 1.11429326 -9.486694 63.844301
    Unten links KachelX 62081 KachelY + 1 35086 -0.16562199 1.11427213 -9.489441 63.843090
    Unten rechts KachelX + 1 62082 KachelY + 1 35086 -0.16557405 1.11427213 -9.486694 63.843090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11429326-1.11427213) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dl = 134.619229999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11429326-1.11427213) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dr = 134.619229999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16562199--0.16557405) × cos(1.11429326) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440811963203394 × 6371000     		do = 134.635320062239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16562199--0.16557405) × cos(1.11427213) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440830929381841 × 6371000     		du = 134.641112821326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11429326)-sin(1.11427213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440811963203394-0.440830929381841)×R²
    abs(-0.16557405--0.16562199)×1.89661784470441e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89661784470441e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89661784470441e-05×40589641000000     		ar = 18124.8930265575m²