Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62080 / 34433
↖ ↑ ↗
← N 64.622700°
W  9.492188°		 ← 130.90 m → N 64.622700°
W  9.489441°		 →
↑
130.92 m
↓
↑
130.92 m
↓
N 64.621523°
W  9.492188°		 ← 130.90 m →
17 138 m²		 N 64.621523°
W  9.489441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473636627197266 y=0.262706756591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473636627197266 × 217)
    floor (0.473636627197266 × 131072)
    floor (62080.5)     		tx = 62080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262706756591797 × 217)
    floor (0.262706756591797 × 131072)
    floor (34433.5)     		ty = 34433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62080 / 34433 ti = "17/62080/34433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62080/34433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62080 ÷ 217
    62080 ÷ 131072     		x = 0.4736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34433 ÷ 217
    34433 ÷ 131072     		y = 0.262702941894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4736328125 × 2 - 1) × π
    -0.052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16566993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262702941894531 × 2 - 1) × π
    0.474594116210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.49098138888261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16566993} λ = -0.16566993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49098138888261))-π/2
    2×atan(4.44145217265314)-π/2
    2×1.34933760756963-π/2
    2.69867521513925-1.57079632675     		φ = 1.12787889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16566993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12787889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.622700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62080 KachelY 34433 -0.16566993 1.12787889 -9.492188 64.622700
    Oben rechts KachelX + 1 62081 KachelY 34433 -0.16562199 1.12787889 -9.489441 64.622700
    Unten links KachelX 62080 KachelY + 1 34434 -0.16566993 1.12785834 -9.492188 64.621523
    Unten rechts KachelX + 1 62081 KachelY + 1 34434 -0.16562199 1.12785834 -9.489441 64.621523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12787889-1.12785834) × R
    2.05500000001191e-05 × 6371000     		dl = 130.924050000759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12787889-1.12785834) × R
    2.05500000001191e-05 × 6371000     		dr = 130.924050000759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16566993--0.16562199) × cos(1.12787889) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428577204436849 × 6371000     		do = 130.898509812246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16566993--0.16562199) × cos(1.12785834) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428595771377456 × 6371000     		du = 130.90418063382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12787889)-sin(1.12785834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428577204436849-0.428595771377456)×R²
    abs(-0.16562199--0.16566993)×1.85669406069233e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85669406069233e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85669406069233e-05×40589641000000     		ar = 17138.1342678372m²