Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62078 / 34434
↖ ↑ ↗
← N 64.621523°
W  9.497681°		 ← 130.90 m → N 64.621523°
W  9.494934°		 →
↑
130.86 m
↓
↑
130.86 m
↓
N 64.620346°
W  9.497681°		 ← 130.91 m →
17 131 m²		 N 64.620346°
W  9.494934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473621368408203 y=0.262714385986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473621368408203 × 217)
    floor (0.473621368408203 × 131072)
    floor (62078.5)     		tx = 62078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262714385986328 × 217)
    floor (0.262714385986328 × 131072)
    floor (34434.5)     		ty = 34434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62078 / 34434 ti = "17/62078/34434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62078/34434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62078 ÷ 217
    62078 ÷ 131072     		x = 0.473617553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34434 ÷ 217
    34434 ÷ 131072     		y = 0.262710571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473617553710938 × 2 - 1) × π
    -0.052764892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16576580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262710571289062 × 2 - 1) × π
    0.474578857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49093345198299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16576580} λ = -0.16576580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49093345198299))-π/2
    2×atan(4.4412392683092)-π/2
    2×1.34932733501592-π/2
    2.69865467003184-1.57079632675     		φ = 1.12785834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16576580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.497681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12785834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.621523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62078 KachelY 34434 -0.16576580 1.12785834 -9.497681 64.621523
    Oben rechts KachelX + 1 62079 KachelY 34434 -0.16571786 1.12785834 -9.494934 64.621523
    Unten links KachelX 62078 KachelY + 1 34435 -0.16576580 1.12783780 -9.497681 64.620346
    Unten rechts KachelX + 1 62079 KachelY + 1 34435 -0.16571786 1.12783780 -9.494934 64.620346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12785834-1.12783780) × R
    2.05399999999578e-05 × 6371000     		dl = 130.860339999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12785834-1.12783780) × R
    2.05399999999578e-05 × 6371000     		dr = 130.860339999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16576580--0.16571786) × cos(1.12785834) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428595771377456 × 6371000     		do = 130.90418063382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16576580--0.16571786) × cos(1.12783780) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42861432910219 × 6371000     		du = 130.90984864063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12785834)-sin(1.12783780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428595771377456-0.42861432910219)×R²
    abs(-0.16571786--0.16576580)×1.85577247341917e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85577247341917e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85577247341917e-05×40589641000000     		ar = 17130.536444443m²