Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62077 / 74411
↖ ↑ ↗
← S 23.672198°
W  9.500427°		 ← 279.73 m → S 23.672198°
W  9.497681°		 →
↑
279.69 m
↓
↑
279.69 m
↓
S 23.674713°
W  9.500427°		 ← 279.72 m →
78 235 m²		 S 23.674713°
W  9.497681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473613739013672 y=0.567714691162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473613739013672 × 217)
    floor (0.473613739013672 × 131072)
    floor (62077.5)     		tx = 62077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567714691162109 × 217)
    floor (0.567714691162109 × 131072)
    floor (74411.5)     		ty = 74411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62077 / 74411 ti = "17/62077/74411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62077/74411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62077 ÷ 217
    62077 ÷ 131072     		x = 0.473609924316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74411 ÷ 217
    74411 ÷ 131072     		y = 0.567710876464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473609924316406 × 2 - 1) × π
    -0.0527801513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16581374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567710876464844 × 2 - 1) × π
    -0.135421752929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.425439984127998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16581374} λ = -0.16581374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.425439984127998))-π/2
    2×atan(0.653482200072095)-π/2
    2×0.578819270645497-π/2
    1.15763854129099-1.57079632675     		φ = -0.41315779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16581374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.500427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41315779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.672198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62077 KachelY 74411 -0.16581374 -0.41315779 -9.500427 -23.672198
    Oben rechts KachelX + 1 62078 KachelY 74411 -0.16576580 -0.41315779 -9.497681 -23.672198
    Unten links KachelX 62077 KachelY + 1 74412 -0.16581374 -0.41320169 -9.500427 -23.674713
    Unten rechts KachelX + 1 62078 KachelY + 1 74412 -0.16576580 -0.41320169 -9.497681 -23.674713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41315779--0.41320169) × R
    4.38999999999856e-05 × 6371000     		dl = 279.686899999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41315779--0.41320169) × R
    4.38999999999856e-05 × 6371000     		dr = 279.686899999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16581374--0.16576580) × cos(-0.41315779) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915857527764233 × 6371000     		do = 279.72646315194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16581374--0.16576580) × cos(-0.41320169) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915839900881982 × 6371000     		du = 279.721079448385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41315779)-sin(-0.41320169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915857527764233-0.915839900881982)×R²
    abs(-0.16576580--0.16581374)×1.76268822507097e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76268822507097e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76268822507097e-05×40589641000000     		ar = 78235.0744637858m²