Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62076 / 35092
↖ ↑ ↗
← N 63.835825°
W  9.503174°		 ← 134.65 m → N 63.835825°
W  9.500427°		 →
↑
134.68 m
↓
↑
134.68 m
↓
N 63.834613°
W  9.503174°		 ← 134.65 m →
18 135 m²		 N 63.834613°
W  9.500427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473606109619141 y=0.267734527587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473606109619141 × 217)
    floor (0.473606109619141 × 131072)
    floor (62076.5)     		tx = 62076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267734527587891 × 217)
    floor (0.267734527587891 × 131072)
    floor (35092.5)     		ty = 35092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62076 / 35092 ti = "17/62076/35092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62076/35092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62076 ÷ 217
    62076 ÷ 131072     		x = 0.473602294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35092 ÷ 217
    35092 ÷ 131072     		y = 0.267730712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.05279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16586167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267730712890625 × 2 - 1) × π
    0.46453857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45939097203299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16586167} λ = -0.16586167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45939097203299))-π/2
    2×atan(4.30333787697816)-π/2
    2×1.34247082247827-π/2
    2.68494164495654-1.57079632675     		φ = 1.11414532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16586167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.503174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11414532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.835825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62076 KachelY 35092 -0.16586167 1.11414532 -9.503174 63.835825
    Oben rechts KachelX + 1 62077 KachelY 35092 -0.16581374 1.11414532 -9.500427 63.835825
    Unten links KachelX 62076 KachelY + 1 35093 -0.16586167 1.11412418 -9.503174 63.834613
    Unten rechts KachelX + 1 62077 KachelY + 1 35093 -0.16581374 1.11412418 -9.500427 63.834613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11414532-1.11412418) × R
    2.11400000000861e-05 × 6371000     		dl = 134.682940000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11414532-1.11412418) × R
    2.11400000000861e-05 × 6371000     		dr = 134.682940000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16586167--0.16581374) × cos(1.11414532) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.440944749245017 × 6371000     		do = 134.647783747304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16586167--0.16581374) × cos(1.11412418) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.44096372302051 × 6371000     		du = 134.653577617905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11414532)-sin(1.11412418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440944749245017-0.44096372302051)×R²
    abs(-0.16581374--0.16586167)×1.89737754933139e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.89737754933139e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.89737754933139e-05×40589641000000     		ar = 18135.149548013m²