Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62072 / 76330
S 28.405896°
W  9.514160°
← 268.65 m → S 28.405896°
W  9.511413°

268.67 m

268.67 m
S 28.408313°
W  9.514160°
← 268.65 m →
72 177 m²
S 28.408313°
W  9.511413°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473575592041016 y=0.582355499267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473575592041016 × 217)
    floor (0.473575592041016 × 131072)
    floor (62072.5)
    tx = 62072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582355499267578 × 217)
    floor (0.582355499267578 × 131072)
    floor (76330.5)
    ty = 76330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62072 / 76330 ti = "17/62072/76330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62072/76330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62072 ÷ 217
    62072 ÷ 131072
    x = 0.47357177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76330 ÷ 217
    76330 ÷ 131072
    y = 0.582351684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.47357177734375 × 2 - 1) × π
    -0.0528564453125 × 3.1415926535
    Λ = -0.16605342
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.582351684570312 × 2 - 1) × π
    -0.164703369140625 × 3.1415926535
    Φ = -0.517430894498886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16605342} λ = -0.16605342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517430894498886))-π/2
    2×atan(0.596049897669692)-π/2
    2×0.53750995101015-π/2
    1.0750199020203-1.57079632675
    φ = -0.49577642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16605342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.514160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49577642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.405896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62072 KachelY 76330 -0.16605342 -0.49577642 -9.514160 -28.405896
    Oben rechts KachelX + 1 62073 KachelY 76330 -0.16600548 -0.49577642 -9.511413 -28.405896
    Unten links KachelX 62072 KachelY + 1 76331 -0.16605342 -0.49581859 -9.514160 -28.408313
    Unten rechts KachelX + 1 62073 KachelY + 1 76331 -0.16600548 -0.49581859 -9.511413 -28.408313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.49577642--0.49581859) × R
    4.2170000000008e-05 × 6371000
    dl = 268.665070000051m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.49577642--0.49581859) × R
    4.2170000000008e-05 × 6371000
    dr = 268.665070000051m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16605342--0.16600548) × cos(-0.49577642) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.879599620563698 × 6371000
    do = 268.652365014366m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16605342--0.16600548) × cos(-0.49581859) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.8795795588913 × 6371000
    du = 268.646237663228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.49577642)-sin(-0.49581859))×
    abs(λ12)×abs(0.879599620563698-0.8795795588913)×
    abs(-0.16600548--0.16605342)×2.00616723984304e-05×
    4.79399999999963e-05×2.00616723984304e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.00616723984304e-05×40589641000000
    ar = 72176.683360332m²