Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62070 / 39044
↖ ↑ ↗
← N 58.625497°
W  9.519653°		 ← 158.98 m → N 58.625497°
W  9.516907°		 →
↑
158.96 m
↓
↑
158.96 m
↓
N 58.624068°
W  9.519653°		 ← 158.99 m →
25 272 m²		 N 58.624068°
W  9.516907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473560333251953 y=0.297885894775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473560333251953 × 217)
    floor (0.473560333251953 × 131072)
    floor (62070.5)     		tx = 62070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297885894775391 × 217)
    floor (0.297885894775391 × 131072)
    floor (39044.5)     		ty = 39044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62070 / 39044 ti = "17/62070/39044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62070/39044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62070 ÷ 217
    62070 ÷ 131072     		x = 0.473556518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39044 ÷ 217
    39044 ÷ 131072     		y = 0.297882080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473556518554688 × 2 - 1) × π
    -0.052886962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16614929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297882080078125 × 2 - 1) × π
    0.40423583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26994434473453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16614929} λ = -0.16614929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26994434473453))-π/2
    2×atan(3.56065438767564)-π/2
    2×1.29700214016141-π/2
    2.59400428032281-1.57079632675     		φ = 1.02320795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16614929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.519653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02320795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.625497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62070 KachelY 39044 -0.16614929 1.02320795 -9.519653 58.625497
    Oben rechts KachelX + 1 62071 KachelY 39044 -0.16610136 1.02320795 -9.516907 58.625497
    Unten links KachelX 62070 KachelY + 1 39045 -0.16614929 1.02318300 -9.519653 58.624068
    Unten rechts KachelX + 1 62071 KachelY + 1 39045 -0.16610136 1.02318300 -9.516907 58.624068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02320795-1.02318300) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dl = 158.95645000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02320795-1.02318300) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dr = 158.95645000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16614929--0.16610136) × cos(1.02320795) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.520629743048721 × 6371000     		do = 158.980555215741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16614929--0.16610136) × cos(1.02318300) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.520651044761704 × 6371000     		du = 158.98705995006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02320795)-sin(1.02318300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520629743048721-0.520651044761704)×R²
    abs(-0.16610136--0.16614929)×2.13017129823134e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13017129823134e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13017129823134e-05×40589641000000     		ar = 25271.5016621831m²