Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62070 / 34441
↖ ↑ ↗
← N 64.613281°
W  9.519653°		 ← 130.92 m → N 64.613281°
W  9.516907°		 →
↑
130.92 m
↓
↑
130.92 m
↓
N 64.612104°
W  9.519653°		 ← 130.92 m →
17 140 m²		 N 64.612104°
W  9.516907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473560333251953 y=0.262767791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473560333251953 × 217)
    floor (0.473560333251953 × 131072)
    floor (62070.5)     		tx = 62070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262767791748047 × 217)
    floor (0.262767791748047 × 131072)
    floor (34441.5)     		ty = 34441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62070 / 34441 ti = "17/62070/34441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62070/34441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62070 ÷ 217
    62070 ÷ 131072     		x = 0.473556518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34441 ÷ 217
    34441 ÷ 131072     		y = 0.262763977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473556518554688 × 2 - 1) × π
    -0.052886962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16614929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262763977050781 × 2 - 1) × π
    0.474472045898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.49059789368565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16614929} λ = -0.16614929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49059789368565))-π/2
    2×atan(4.43974922363465)-π/2
    2×1.34925541468132-π/2
    2.69851082936263-1.57079632675     		φ = 1.12771450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16614929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.519653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12771450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.613281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62070 KachelY 34441 -0.16614929 1.12771450 -9.519653 64.613281
    Oben rechts KachelX + 1 62071 KachelY 34441 -0.16610136 1.12771450 -9.516907 64.613281
    Unten links KachelX 62070 KachelY + 1 34442 -0.16614929 1.12769395 -9.519653 64.612104
    Unten rechts KachelX + 1 62071 KachelY + 1 34442 -0.16610136 1.12769395 -9.516907 64.612104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12771450-1.12769395) × R
    2.0549999999897e-05 × 6371000     		dl = 130.924049999344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12771450-1.12769395) × R
    2.0549999999897e-05 × 6371000     		dr = 130.924049999344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16614929--0.16610136) × cos(1.12771450) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.428725725858999 × 6371000     		do = 130.916557961532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16614929--0.16610136) × cos(1.12769395) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.428744291351498 × 6371000     		du = 130.922227158009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12771450)-sin(1.12769395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428725725858999-0.428744291351498)×R²
    abs(-0.16610136--0.16614929)×1.85654924987344e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85654924987344e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85654924987344e-05×40589641000000     		ar = 17140.4970980469m²