Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6207 / 10365
↖ ↑ ↗
← S 43.020714°
W 43.615723°		 ← 1 786.30 m → S 43.020714°
W 43.593750°		 →
↑
1 786.05 m
↓
↑
1 786.05 m
↓
S 43.036776°
W 43.615723°		 ← 1 785.83 m →
3 189 994 m²		 S 43.036776°
W 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378875732421875 y=0.632659912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378875732421875 × 214)
    floor (0.378875732421875 × 16384)
    floor (6207.5)     		tx = 6207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632659912109375 × 214)
    floor (0.632659912109375 × 16384)
    floor (10365.5)     		ty = 10365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6207 / 10365 ti = "14/6207/10365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6207/10365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6207 ÷ 214
    6207 ÷ 16384     		x = 0.37884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10365 ÷ 214
    10365 ÷ 16384     		y = 0.63262939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.2423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76123797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63262939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2652587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.833335062995056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76123797} λ = -0.76123797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833335062995056))-π/2
    2×atan(0.434597456799842)-π/2
    2×0.409971614017332-π/2
    0.819943228034665-1.57079632675     		φ = -0.75085310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76123797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75085310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.020714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6207 KachelY 10365 -0.76123797 -0.75085310 -43.615723 -43.020714
    Oben rechts KachelX + 1 6208 KachelY 10365 -0.76085447 -0.75085310 -43.593750 -43.020714
    Unten links KachelX 6207 KachelY + 1 10366 -0.76123797 -0.75113344 -43.615723 -43.036776
    Unten rechts KachelX + 1 6208 KachelY + 1 10366 -0.76085447 -0.75113344 -43.593750 -43.036776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75085310--0.75113344) × R
    0.00028033999999999 × 6371000     		dl = 1786.04613999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75085310--0.75113344) × R
    0.00028033999999999 × 6371000     		dr = 1786.04613999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76123797--0.76085447) × cos(-0.75085310) × R
    0.000383500000000092 × 0.731107096664076 × 6371000     		do = 1786.29825047719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76123797--0.76085447) × cos(-0.75113344) × R
    0.000383500000000092 × 0.730915802407826 × 6371000     		du = 1785.83086533372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75085310)-sin(-0.75113344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731107096664076-0.730915802407826)×R²
    abs(-0.76085447--0.76123797)×0.000191294256250196×R²
    0.000383500000000092×0.000191294256250196×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191294256250196×40589641000000     		ar = 3189993.73032949m²