Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62069 / 34446
↖ ↑ ↗
← N 64.607393°
W  9.522400°		 ← 130.97 m → N 64.607393°
W  9.519653°		 →
↑
130.92 m
↓
↑
130.92 m
↓
N 64.606216°
W  9.522400°		 ← 130.98 m →
17 148 m²		 N 64.606216°
W  9.519653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473552703857422 y=0.262805938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473552703857422 × 217)
    floor (0.473552703857422 × 131072)
    floor (62069.5)     		tx = 62069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262805938720703 × 217)
    floor (0.262805938720703 × 131072)
    floor (34446.5)     		ty = 34446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62069 / 34446 ti = "17/62069/34446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62069/34446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62069 ÷ 217
    62069 ÷ 131072     		x = 0.473548889160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34446 ÷ 217
    34446 ÷ 131072     		y = 0.262802124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473548889160156 × 2 - 1) × π
    -0.0529022216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16619723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262802124023438 × 2 - 1) × π
    0.474395751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49035820918755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16619723} λ = -0.16619723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49035820918755))-π/2
    2×atan(4.43868521208893)-π/2
    2×1.34920402966324-π/2
    2.69840805932647-1.57079632675     		φ = 1.12761173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16619723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.522400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12761173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.607393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62069 KachelY 34446 -0.16619723 1.12761173 -9.522400 64.607393
    Oben rechts KachelX + 1 62070 KachelY 34446 -0.16614929 1.12761173 -9.519653 64.607393
    Unten links KachelX 62069 KachelY + 1 34447 -0.16619723 1.12759118 -9.522400 64.606216
    Unten rechts KachelX + 1 62070 KachelY + 1 34447 -0.16614929 1.12759118 -9.519653 64.606216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12761173-1.12759118) × R
    2.0549999999897e-05 × 6371000     		dl = 130.924049999344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12761173-1.12759118) × R
    2.0549999999897e-05 × 6371000     		dr = 130.924049999344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16619723--0.16614929) × cos(1.12761173) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42881856957863 × 6371000     		do = 130.972228939284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16619723--0.16614929) × cos(1.12759118) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428837134165575 × 6371000     		du = 130.97789904199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12761173)-sin(1.12759118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42881856957863-0.428837134165575)×R²
    abs(-0.16614929--0.16619723)×1.85645869451578e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85645869451578e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85645869451578e-05×40589641000000     		ar = 17147.7858272729m²