Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 62069 / 12982
↖ ↑ ↗
← N 72.935762°
E160.955200°		 ← 179.25 m → N 72.935762°
E160.960694°		 →
↑
179.22 m
↓
↑
179.22 m
↓
N 72.934150°
E160.955200°		 ← 179.27 m →
32 126 m²		 N 72.934150°
E160.960694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947105407714844 y=0.198097229003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947105407714844 × 216)
    floor (0.947105407714844 × 65536)
    floor (62069.5)     		tx = 62069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198097229003906 × 216)
    floor (0.198097229003906 × 65536)
    floor (12982.5)     		ty = 12982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62069 / 12982 ti = "16/62069/12982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62069/12982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62069 ÷ 216
    62069 ÷ 65536     		x = 0.947097778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12982 ÷ 216
    12982 ÷ 65536     		y = 0.198089599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947097778320312 × 2 - 1) × π
    0.894195556640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80919819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198089599609375 × 2 - 1) × π
    0.60382080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.89695899176486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80919819} λ = 2.80919819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89695899176486))-π/2
    2×atan(6.66559346558452)-π/2
    2×1.42188275979508-π/2
    2.84376551959017-1.57079632675     		φ = 1.27296919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80919819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.955200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27296919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.935762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62069 KachelY 12982 2.80919819 1.27296919 160.955200 72.935762
    Oben rechts KachelX + 1 62070 KachelY 12982 2.80929407 1.27296919 160.960694 72.935762
    Unten links KachelX 62069 KachelY + 1 12983 2.80919819 1.27294106 160.955200 72.934150
    Unten rechts KachelX + 1 62070 KachelY + 1 12983 2.80929407 1.27294106 160.960694 72.934150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27296919-1.27294106) × R
    2.81300000000151e-05 × 6371000     		dl = 179.216230000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27296919-1.27294106) × R
    2.81300000000151e-05 × 6371000     		dr = 179.216230000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80919819-2.80929407) × cos(1.27296919) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.293443695164462 × 6371000     		do = 179.250515487763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80919819-2.80929407) × cos(1.27294106) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.293470586663319 × 6371000     		du = 179.266942199639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27296919)-sin(1.27294106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293443695164462-0.293470586663319)×R²
    abs(2.80929407-2.80919819)×2.68914988569846e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.68914988569846e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.68914988569846e-05×40589641000000     		ar = 32126.0735802994m²