Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62068 / 34445
↖ ↑ ↗
← N 64.608571°
W  9.525147°		 ← 130.97 m → N 64.608571°
W  9.522400°		 →
↑
130.99 m
↓
↑
130.99 m
↓
N 64.607393°
W  9.525147°		 ← 130.97 m →
17 155 m²		 N 64.607393°
W  9.522400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473545074462891 y=0.262798309326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473545074462891 × 217)
    floor (0.473545074462891 × 131072)
    floor (62068.5)     		tx = 62068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262798309326172 × 217)
    floor (0.262798309326172 × 131072)
    floor (34445.5)     		ty = 34445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62068 / 34445 ti = "17/62068/34445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62068/34445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62068 ÷ 217
    62068 ÷ 131072     		x = 0.473541259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34445 ÷ 217
    34445 ÷ 131072     		y = 0.262794494628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473541259765625 × 2 - 1) × π
    -0.05291748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16624517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262794494628906 × 2 - 1) × π
    0.474411010742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.49040614608717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16624517} λ = -0.16624517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49040614608717))-π/2
    2×atan(4.43889799399639)-π/2
    2×1.34921430755699-π/2
    2.69842861511399-1.57079632675     		φ = 1.12763229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16624517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.525147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12763229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.608571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62068 KachelY 34445 -0.16624517 1.12763229 -9.525147 64.608571
    Oben rechts KachelX + 1 62069 KachelY 34445 -0.16619723 1.12763229 -9.522400 64.608571
    Unten links KachelX 62068 KachelY + 1 34446 -0.16624517 1.12761173 -9.525147 64.607393
    Unten rechts KachelX + 1 62069 KachelY + 1 34446 -0.16619723 1.12761173 -9.522400 64.607393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12763229-1.12761173) × R
    2.05600000000583e-05 × 6371000     		dl = 130.987760000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12763229-1.12761173) × R
    2.05600000000583e-05 × 6371000     		dr = 130.987760000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16624517--0.16619723) × cos(1.12763229) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428799995776599 × 6371000     		do = 130.966556022055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16624517--0.16619723) × cos(1.12761173) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42881856957863 × 6371000     		du = 130.972228939284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12763229)-sin(1.12761173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428799995776599-0.42881856957863)×R²
    abs(-0.16619723--0.16624517)×1.85738020309634e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85738020309634e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85738020309634e-05×40589641000000     		ar = 17155.3873502609m²