Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62068 / 12986
↖ ↑ ↗
← N 72.929313°
E160.949707°		 ← 179.30 m → N 72.929313°
E160.955200°		 →
↑
179.34 m
↓
↑
179.34 m
↓
N 72.927701°
E160.949707°		 ← 179.31 m →
32 157 m²		 N 72.927701°
E160.955200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947090148925781 y=0.198158264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947090148925781 × 216)
    floor (0.947090148925781 × 65536)
    floor (62068.5)     		tx = 62068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198158264160156 × 216)
    floor (0.198158264160156 × 65536)
    floor (12986.5)     		ty = 12986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62068 / 12986 ti = "16/62068/12986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62068/12986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62068 ÷ 216
    62068 ÷ 65536     		x = 0.94708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12986 ÷ 216
    12986 ÷ 65536     		y = 0.198150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94708251953125 × 2 - 1) × π
    0.8941650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80910232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198150634765625 × 2 - 1) × π
    0.60369873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8965754965679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80910232} λ = 2.80910232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8965754965679))-π/2
    2×atan(6.66303773259256)-π/2
    2×1.42182648235651-π/2
    2.84365296471301-1.57079632675     		φ = 1.27285664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80910232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27285664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.929313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62068 KachelY 12986 2.80910232 1.27285664 160.949707 72.929313
    Oben rechts KachelX + 1 62069 KachelY 12986 2.80919819 1.27285664 160.955200 72.929313
    Unten links KachelX 62068 KachelY + 1 12987 2.80910232 1.27282849 160.949707 72.927701
    Unten rechts KachelX + 1 62069 KachelY + 1 12987 2.80919819 1.27282849 160.955200 72.927701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27285664-1.27282849) × R
    2.81500000001156e-05 × 6371000     		dl = 179.343650000736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27285664-1.27282849) × R
    2.81500000001156e-05 × 6371000     		dr = 179.343650000736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80910232-2.80919819) × cos(1.27285664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29355128844477 × 6371000     		do = 179.297536849804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80910232-2.80919819) × cos(1.27282849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293578198133064 × 6371000     		du = 179.313972958308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27285664)-sin(1.27282849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29355128844477-0.293578198133064)×R²
    abs(2.80919819-2.80910232)×2.69096882934416e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.69096882934416e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.69096882934416e-05×40589641000000     		ar = 32157.3485527842m²