Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62067 / 39045
↖ ↑ ↗
← N 58.624068°
W  9.527893°		 ← 158.99 m → N 58.624068°
W  9.525147°		 →
↑
159.02 m
↓
↑
159.02 m
↓
N 58.622637°
W  9.527893°		 ← 158.99 m →
25 283 m²		 N 58.622637°
W  9.525147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473537445068359 y=0.297893524169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473537445068359 × 217)
    floor (0.473537445068359 × 131072)
    floor (62067.5)     		tx = 62067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297893524169922 × 217)
    floor (0.297893524169922 × 131072)
    floor (39045.5)     		ty = 39045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62067 / 39045 ti = "17/62067/39045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62067/39045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62067 ÷ 217
    62067 ÷ 131072     		x = 0.473533630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39045 ÷ 217
    39045 ÷ 131072     		y = 0.297889709472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473533630371094 × 2 - 1) × π
    -0.0529327392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16629310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297889709472656 × 2 - 1) × π
    0.404220581054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.26989640783491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16629310} λ = -0.16629310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26989640783491))-π/2
    2×atan(3.56048370503471)-π/2
    2×1.29698966121825-π/2
    2.5939793224365-1.57079632675     		φ = 1.02318300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16629310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.527893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02318300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.624068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62067 KachelY 39045 -0.16629310 1.02318300 -9.527893 58.624068
    Oben rechts KachelX + 1 62068 KachelY 39045 -0.16624517 1.02318300 -9.525147 58.624068
    Unten links KachelX 62067 KachelY + 1 39046 -0.16629310 1.02315804 -9.527893 58.622637
    Unten rechts KachelX + 1 62068 KachelY + 1 39046 -0.16624517 1.02315804 -9.525147 58.622637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02318300-1.02315804) × R
    2.49599999999628e-05 × 6371000     		dl = 159.020159999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02318300-1.02315804) × R
    2.49599999999628e-05 × 6371000     		dr = 159.020159999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16629310--0.16624517) × cos(1.02318300) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.520651044761704 × 6371000     		do = 158.98705995006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16629310--0.16624517) × cos(1.02315804) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.520672354688145 × 6371000     		du = 158.993567192457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02318300)-sin(1.02315804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520651044761704-0.520672354688145)×R²
    abs(-0.16624517--0.16629310)×2.13099264414485e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13099264414485e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13099264414485e-05×40589641000000     		ar = 25282.6651037583m²