Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62067 / 39043
↖ ↑ ↗
← N 58.626927°
W  9.527893°		 ← 158.97 m → N 58.626927°
W  9.525147°		 →
↑
159.02 m
↓
↑
159.02 m
↓
N 58.625497°
W  9.527893°		 ← 158.98 m →
25 281 m²		 N 58.625497°
W  9.525147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473537445068359 y=0.297878265380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473537445068359 × 217)
    floor (0.473537445068359 × 131072)
    floor (62067.5)     		tx = 62067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297878265380859 × 217)
    floor (0.297878265380859 × 131072)
    floor (39043.5)     		ty = 39043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62067 / 39043 ti = "17/62067/39043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62067/39043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62067 ÷ 217
    62067 ÷ 131072     		x = 0.473533630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39043 ÷ 217
    39043 ÷ 131072     		y = 0.297874450683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473533630371094 × 2 - 1) × π
    -0.0529327392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16629310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297874450683594 × 2 - 1) × π
    0.404251098632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.26999228163415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16629310} λ = -0.16629310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26999228163415))-π/2
    2×atan(3.56082507849876)-π/2
    2×1.29701461859384-π/2
    2.59402923718768-1.57079632675     		φ = 1.02323291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16629310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.527893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02323291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.626927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62067 KachelY 39043 -0.16629310 1.02323291 -9.527893 58.626927
    Oben rechts KachelX + 1 62068 KachelY 39043 -0.16624517 1.02323291 -9.525147 58.626927
    Unten links KachelX 62067 KachelY + 1 39044 -0.16629310 1.02320795 -9.527893 58.625497
    Unten rechts KachelX + 1 62068 KachelY + 1 39044 -0.16624517 1.02320795 -9.525147 58.625497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02323291-1.02320795) × R
    2.49599999999628e-05 × 6371000     		dl = 159.020159999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02323291-1.02320795) × R
    2.49599999999628e-05 × 6371000     		dr = 159.020159999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16629310--0.16624517) × cos(1.02323291) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.52060843247369 × 6371000     		do = 158.974047775289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16629310--0.16624517) × cos(1.02320795) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.520629743048721 × 6371000     		du = 158.980555215741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02323291)-sin(1.02320795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52060843247369-0.520629743048721)×R²
    abs(-0.16624517--0.16629310)×2.13105750311859e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13105750311859e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13105750311859e-05×40589641000000     		ar = 25280.5959215252m²