Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62067 / 29309
↖ ↑ ↗
← N 70.023403°
W  9.527893°		 ← 104.32 m → N 70.023403°
W  9.525147°		 →
↑
104.36 m
↓
↑
104.36 m
↓
N 70.022464°
W  9.527893°		 ← 104.33 m →
10 887 m²		 N 70.022464°
W  9.525147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473537445068359 y=0.223613739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473537445068359 × 217)
    floor (0.473537445068359 × 131072)
    floor (62067.5)     		tx = 62067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223613739013672 × 217)
    floor (0.223613739013672 × 131072)
    floor (29309.5)     		ty = 29309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62067 / 29309 ti = "17/62067/29309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62067/29309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62067 ÷ 217
    62067 ÷ 131072     		x = 0.473533630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29309 ÷ 217
    29309 ÷ 131072     		y = 0.223609924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473533630371094 × 2 - 1) × π
    -0.0529327392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16629310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223609924316406 × 2 - 1) × π
    0.552780151367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.73661006253577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16629310} λ = -0.16629310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73661006253577))-π/2
    2×atan(5.6780624838096)-π/2
    2×1.3964676268242-π/2
    2.79293525364841-1.57079632675     		φ = 1.22213893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16629310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.527893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22213893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.023403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62067 KachelY 29309 -0.16629310 1.22213893 -9.527893 70.023403
    Oben rechts KachelX + 1 62068 KachelY 29309 -0.16624517 1.22213893 -9.525147 70.023403
    Unten links KachelX 62067 KachelY + 1 29310 -0.16629310 1.22212255 -9.527893 70.022464
    Unten rechts KachelX + 1 62068 KachelY + 1 29310 -0.16624517 1.22212255 -9.525147 70.022464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22213893-1.22212255) × R
    1.63800000001491e-05 × 6371000     		dl = 104.35698000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22213893-1.22212255) × R
    1.63800000001491e-05 × 6371000     		dr = 104.35698000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16629310--0.16624517) × cos(1.22213893) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.341636293968405 × 6371000     		do = 104.322752247872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16629310--0.16624517) × cos(1.22212255) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.341651688374693 × 6371000     		du = 104.327453115027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22213893)-sin(1.22212255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341636293968405-0.341651688374693)×R²
    abs(-0.16624517--0.16629310)×1.53944062881717e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.53944062881717e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.53944062881717e-05×40589641000000     		ar = 10887.0526545255m²