Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62066 / 35111
↖ ↑ ↗
← N 63.812804°
W  9.530640°		 ← 134.79 m → N 63.812804°
W  9.527893°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
N 63.811592°
W  9.530640°		 ← 134.79 m →
18 162 m²		 N 63.811592°
W  9.527893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473529815673828 y=0.267879486083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473529815673828 × 217)
    floor (0.473529815673828 × 131072)
    floor (62066.5)     		tx = 62066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267879486083984 × 217)
    floor (0.267879486083984 × 131072)
    floor (35111.5)     		ty = 35111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62066 / 35111 ti = "17/62066/35111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62066/35111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62066 ÷ 217
    62066 ÷ 131072     		x = 0.473526000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35111 ÷ 217
    35111 ÷ 131072     		y = 0.267875671386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473526000976562 × 2 - 1) × π
    -0.052947998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16634104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267875671386719 × 2 - 1) × π
    0.464248657226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.45848017094021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16634104} λ = -0.16634104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45848017094021))-π/2
    2×atan(4.29942017653096)-π/2
    2×1.34226993390366-π/2
    2.68453986780732-1.57079632675     		φ = 1.11374354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16634104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.530640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11374354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.812804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62066 KachelY 35111 -0.16634104 1.11374354 -9.530640 63.812804
    Oben rechts KachelX + 1 62067 KachelY 35111 -0.16629310 1.11374354 -9.527893 63.812804
    Unten links KachelX 62066 KachelY + 1 35112 -0.16634104 1.11372239 -9.530640 63.811592
    Unten rechts KachelX + 1 62067 KachelY + 1 35112 -0.16629310 1.11372239 -9.527893 63.811592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11374354-1.11372239) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dl = 134.746650000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11374354-1.11372239) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dr = 134.746650000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16634104--0.16629310) × cos(1.11374354) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441305324955644 × 6371000     		do = 134.786005440508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16634104--0.16629310) × cos(1.11372239) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441324303957781 × 6371000     		du = 134.79180211628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11374354)-sin(1.11372239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441305324955644-0.441324303957781)×R²
    abs(-0.16629310--0.16634104)×1.89790021369873e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89790021369873e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89790021369873e-05×40589641000000     		ar = 18162.353242029m²