Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62066 / 12990
↖ ↑ ↗
← N 72.922862°
E160.938721°		 ← 179.36 m → N 72.922862°
E160.944214°		 →
↑
179.34 m
↓
↑
179.34 m
↓
N 72.921249°
E160.938721°		 ← 179.38 m →
32 169 m²		 N 72.921249°
E160.944214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947059631347656 y=0.198219299316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947059631347656 × 216)
    floor (0.947059631347656 × 65536)
    floor (62066.5)     		tx = 62066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198219299316406 × 216)
    floor (0.198219299316406 × 65536)
    floor (12990.5)     		ty = 12990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62066 / 12990 ti = "16/62066/12990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62066/12990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62066 ÷ 216
    62066 ÷ 65536     		x = 0.947052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12990 ÷ 216
    12990 ÷ 65536     		y = 0.198211669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947052001953125 × 2 - 1) × π
    0.89410400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80891057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198211669921875 × 2 - 1) × π
    0.60357666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89619200137094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80891057} λ = 2.80891057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89619200137094))-π/2
    2×atan(6.66048297952402)-π/2
    2×1.42177018428286-π/2
    2.84354036856571-1.57079632675     		φ = 1.27274404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80891057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.938721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27274404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.922862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62066 KachelY 12990 2.80891057 1.27274404 160.938721 72.922862
    Oben rechts KachelX + 1 62067 KachelY 12990 2.80900644 1.27274404 160.944214 72.922862
    Unten links KachelX 62066 KachelY + 1 12991 2.80891057 1.27271589 160.938721 72.921249
    Unten rechts KachelX + 1 62067 KachelY + 1 12991 2.80900644 1.27271589 160.944214 72.921249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27274404-1.27271589) × R
    2.81500000001156e-05 × 6371000     		dl = 179.343650000736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27274404-1.27271589) × R
    2.81500000001156e-05 × 6371000     		dr = 179.343650000736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80891057-2.80900644) × cos(1.27274404) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29365892580203 × 6371000     		do = 179.363280431214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80891057-2.80900644) × cos(1.27271589) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293685834559644 × 6371000     		du = 179.37971597127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27274404)-sin(1.27271589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29365892580203-0.293685834559644)×R²
    abs(2.80900644-2.80891057)×2.69087576136307e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.69087576136307e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.69087576136307e-05×40589641000000     		ar = 32169.1391960295m²