Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62063 / 74639
↖ ↑ ↗
← S 24.244460°
W  9.538879°		 ← 278.43 m → S 24.244460°
W  9.536133°		 →
↑
278.48 m
↓
↑
278.48 m
↓
S 24.246965°
W  9.538879°		 ← 278.42 m →
77 535 m²		 S 24.246965°
W  9.536133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473506927490234 y=0.569454193115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473506927490234 × 217)
    floor (0.473506927490234 × 131072)
    floor (62063.5)     		tx = 62063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569454193115234 × 217)
    floor (0.569454193115234 × 131072)
    floor (74639.5)     		ty = 74639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62063 / 74639 ti = "17/62063/74639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62063/74639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62063 ÷ 217
    62063 ÷ 131072     		x = 0.473503112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74639 ÷ 217
    74639 ÷ 131072     		y = 0.569450378417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473503112792969 × 2 - 1) × π
    -0.0529937744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16648485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.569450378417969 × 2 - 1) × π
    -0.138900756835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.436369597241371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16648485} λ = -0.16648485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.436369597241371))-π/2
    2×atan(0.646378781966948)-π/2
    2×0.573825335119072-π/2
    1.14765067023814-1.57079632675     		φ = -0.42314566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16648485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.538879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42314566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.244460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62063 KachelY 74639 -0.16648485 -0.42314566 -9.538879 -24.244460
    Oben rechts KachelX + 1 62064 KachelY 74639 -0.16643692 -0.42314566 -9.536133 -24.244460
    Unten links KachelX 62063 KachelY + 1 74640 -0.16648485 -0.42318937 -9.538879 -24.246965
    Unten rechts KachelX + 1 62064 KachelY + 1 74640 -0.16643692 -0.42318937 -9.536133 -24.246965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42314566--0.42318937) × R
    4.37100000000301e-05 × 6371000     		dl = 278.476410000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42314566--0.42318937) × R
    4.37100000000301e-05 × 6371000     		dr = 278.476410000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16648485--0.16643692) × cos(-0.42314566) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.911801749096379 × 6371000     		do = 278.42963306163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16648485--0.16643692) × cos(-0.42318937) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.911783799557537 × 6371000     		du = 278.424151954012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42314566)-sin(-0.42318937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911801749096379-0.911783799557537)×R²
    abs(-0.16643692--0.16648485)×1.79495388425988e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.79495388425988e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.79495388425988e-05×40589641000000     		ar = 77535.3214854146m²