Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62063 / 34297
↖ ↑ ↗
← N 64.782318°
W  9.538879°		 ← 130.10 m → N 64.782318°
W  9.536133°		 →
↑
130.16 m
↓
↑
130.16 m
↓
N 64.781148°
W  9.538879°		 ← 130.11 m →
16 934 m²		 N 64.781148°
W  9.536133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473506927490234 y=0.261669158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473506927490234 × 217)
    floor (0.473506927490234 × 131072)
    floor (62063.5)     		tx = 62063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261669158935547 × 217)
    floor (0.261669158935547 × 131072)
    floor (34297.5)     		ty = 34297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62063 / 34297 ti = "17/62063/34297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62063/34297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62063 ÷ 217
    62063 ÷ 131072     		x = 0.473503112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34297 ÷ 217
    34297 ÷ 131072     		y = 0.261665344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473503112792969 × 2 - 1) × π
    -0.0529937744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16648485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261665344238281 × 2 - 1) × π
    0.476669311523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.49750080723093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16648485} λ = -0.16648485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49750080723093))-π/2
    2×atan(4.4705024500032)-π/2
    2×1.35073053637862-π/2
    2.70146107275724-1.57079632675     		φ = 1.13066475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16648485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.538879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13066475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.782318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62063 KachelY 34297 -0.16648485 1.13066475 -9.538879 64.782318
    Oben rechts KachelX + 1 62064 KachelY 34297 -0.16643692 1.13066475 -9.536133 64.782318
    Unten links KachelX 62063 KachelY + 1 34298 -0.16648485 1.13064432 -9.538879 64.781148
    Unten rechts KachelX + 1 62064 KachelY + 1 34298 -0.16643692 1.13064432 -9.536133 64.781148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13066475-1.13064432) × R
    2.04299999999602e-05 × 6371000     		dl = 130.159529999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13066475-1.13064432) × R
    2.04299999999602e-05 × 6371000     		dr = 130.159529999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16648485--0.16643692) × cos(1.13066475) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.426058505702652 × 6371000     		do = 130.102090200133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16648485--0.16643692) × cos(1.13064432) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.426076988545081 × 6371000     		du = 130.107734158417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13066475)-sin(1.13064432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426058505702652-0.426076988545081)×R²
    abs(-0.16643692--0.16648485)×1.84828424292793e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84828424292793e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84828424292793e-05×40589641000000     		ar = 16934.3942204119m²