Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62062 / 74394
↖ ↑ ↗
← S 23.629427°
W  9.541626°		 ← 279.82 m → S 23.629427°
W  9.538879°		 →
↑
279.75 m
↓
↑
279.75 m
↓
S 23.631943°
W  9.541626°		 ← 279.81 m →
78 278 m²		 S 23.631943°
W  9.538879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473499298095703 y=0.567584991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473499298095703 × 217)
    floor (0.473499298095703 × 131072)
    floor (62062.5)     		tx = 62062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567584991455078 × 217)
    floor (0.567584991455078 × 131072)
    floor (74394.5)     		ty = 74394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62062 / 74394 ti = "17/62062/74394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62062/74394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62062 ÷ 217
    62062 ÷ 131072     		x = 0.473495483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74394 ÷ 217
    74394 ÷ 131072     		y = 0.567581176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473495483398438 × 2 - 1) × π
    -0.053009033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16653279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567581176757812 × 2 - 1) × π
    -0.135162353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.424625056834457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16653279} λ = -0.16653279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.424625056834457))-π/2
    2×atan(0.654014957602619)-π/2
    2×0.579192510317713-π/2
    1.15838502063543-1.57079632675     		φ = -0.41241131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16653279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.541626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41241131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.629427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62062 KachelY 74394 -0.16653279 -0.41241131 -9.541626 -23.629427
    Oben rechts KachelX + 1 62063 KachelY 74394 -0.16648485 -0.41241131 -9.538879 -23.629427
    Unten links KachelX 62062 KachelY + 1 74395 -0.16653279 -0.41245522 -9.541626 -23.631943
    Unten rechts KachelX + 1 62063 KachelY + 1 74395 -0.16648485 -0.41245522 -9.538879 -23.631943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41241131--0.41245522) × R
    4.39100000000359e-05 × 6371000     		dl = 279.750610000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41241131--0.41245522) × R
    4.39100000000359e-05 × 6371000     		dr = 279.750610000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16653279--0.16648485) × cos(-0.41241131) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916156986829721 × 6371000     		do = 279.817925658778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16653279--0.16648485) × cos(-0.41245522) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916139385956575 × 6371000     		du = 279.812549899073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41241131)-sin(-0.41245522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916156986829721-0.916139385956575)×R²
    abs(-0.16648485--0.16653279)×1.7600873146395e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.7600873146395e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.7600873146395e-05×40589641000000     		ar = 78278.48346863m²