Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62062 / 34282
↖ ↑ ↗
← N 64.799866°
W  9.541626°		 ← 130.04 m → N 64.799866°
W  9.538879°		 →
↑
130.10 m
↓
↑
130.10 m
↓
N 64.798696°
W  9.541626°		 ← 130.05 m →
16 919 m²		 N 64.798696°
W  9.538879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473499298095703 y=0.261554718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473499298095703 × 217)
    floor (0.473499298095703 × 131072)
    floor (62062.5)     		tx = 62062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261554718017578 × 217)
    floor (0.261554718017578 × 131072)
    floor (34282.5)     		ty = 34282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62062 / 34282 ti = "17/62062/34282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62062/34282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62062 ÷ 217
    62062 ÷ 131072     		x = 0.473495483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34282 ÷ 217
    34282 ÷ 131072     		y = 0.261550903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473495483398438 × 2 - 1) × π
    -0.053009033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16653279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261550903320312 × 2 - 1) × π
    0.476898193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49821986072524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16653279} λ = -0.16653279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49821986072524))-π/2
    2×atan(4.47371813639787)-π/2
    2×1.3508836659935-π/2
    2.70176733198701-1.57079632675     		φ = 1.13097101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16653279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.541626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13097101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.799866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62062 KachelY 34282 -0.16653279 1.13097101 -9.541626 64.799866
    Oben rechts KachelX + 1 62063 KachelY 34282 -0.16648485 1.13097101 -9.538879 64.799866
    Unten links KachelX 62062 KachelY + 1 34283 -0.16653279 1.13095059 -9.541626 64.798696
    Unten rechts KachelX + 1 62063 KachelY + 1 34283 -0.16648485 1.13095059 -9.538879 64.798696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13097101-1.13095059) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dl = 130.095820000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13097101-1.13095059) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dr = 130.095820000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16653279--0.16648485) × cos(1.13097101) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.425781413647844 × 6371000     		do = 130.044603341704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16653279--0.16648485) × cos(1.13095059) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.425799890107092 × 6371000     		du = 130.050246527943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13097101)-sin(1.13095059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425781413647844-0.425799890107092)×R²
    abs(-0.16648485--0.16653279)×1.84764592487396e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.84764592487396e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.84764592487396e-05×40589641000000     		ar = 16918.6263861991m²