Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62060 / 74390
↖ ↑ ↗
← S 23.619362°
W  9.547119°		 ← 279.78 m → S 23.619362°
W  9.544373°		 →
↑
279.81 m
↓
↑
279.81 m
↓
S 23.621878°
W  9.547119°		 ← 279.78 m →
78 286 m²		 S 23.621878°
W  9.544373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473484039306641 y=0.567554473876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473484039306641 × 217)
    floor (0.473484039306641 × 131072)
    floor (62060.5)     		tx = 62060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567554473876953 × 217)
    floor (0.567554473876953 × 131072)
    floor (74390.5)     		ty = 74390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62060 / 74390 ti = "17/62060/74390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62060/74390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62060 ÷ 217
    62060 ÷ 131072     		x = 0.473480224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74390 ÷ 217
    74390 ÷ 131072     		y = 0.567550659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.05303955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16662866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567550659179688 × 2 - 1) × π
    -0.135101318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.424433309235977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16662866} λ = -0.16662866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.424433309235977))-π/2
    2×atan(0.654140375424008)-π/2
    2×0.579280349143872-π/2
    1.15856069828774-1.57079632675     		φ = -0.41223563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16662866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.547119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41223563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.619362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62060 KachelY 74390 -0.16662866 -0.41223563 -9.547119 -23.619362
    Oben rechts KachelX + 1 62061 KachelY 74390 -0.16658073 -0.41223563 -9.544373 -23.619362
    Unten links KachelX 62060 KachelY + 1 74391 -0.16662866 -0.41227955 -9.547119 -23.621878
    Unten rechts KachelX + 1 62061 KachelY + 1 74391 -0.16658073 -0.41227955 -9.544373 -23.621878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41223563--0.41227955) × R
    4.39199999999751e-05 × 6371000     		dl = 279.814319999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41223563--0.41227955) × R
    4.39199999999751e-05 × 6371000     		dr = 279.814319999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16662866--0.16658073) × cos(-0.41223563) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.916227388684001 × 6371000     		do = 279.781055350155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16662866--0.16658073) × cos(-0.41227955) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.916209790871404 × 6371000     		du = 279.775681646377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41223563)-sin(-0.41227955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916227388684001-0.916209790871404)×R²
    abs(-0.16658073--0.16662866)×1.75978125970255e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.75978125970255e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.75978125970255e-05×40589641000000     		ar = 78285.9939446432m²