Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62060 / 74388
↖ ↑ ↗
← S 23.614328°
W  9.547119°		 ← 279.79 m → S 23.614328°
W  9.544373°		 →
↑
279.88 m
↓
↑
279.88 m
↓
S 23.616845°
W  9.547119°		 ← 279.79 m →
78 307 m²		 S 23.616845°
W  9.544373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473484039306641 y=0.567539215087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473484039306641 × 217)
    floor (0.473484039306641 × 131072)
    floor (62060.5)     		tx = 62060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567539215087891 × 217)
    floor (0.567539215087891 × 131072)
    floor (74388.5)     		ty = 74388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62060 / 74388 ti = "17/62060/74388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62060/74388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62060 ÷ 217
    62060 ÷ 131072     		x = 0.473480224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74388 ÷ 217
    74388 ÷ 131072     		y = 0.567535400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.05303955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16662866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567535400390625 × 2 - 1) × π
    -0.13507080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.424337435436737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16662866} λ = -0.16662866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.424337435436737))-π/2
    2×atan(0.654203093353492)-π/2
    2×0.579324271087779-π/2
    1.15864854217556-1.57079632675     		φ = -0.41214778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16662866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.547119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41214778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.614328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62060 KachelY 74388 -0.16662866 -0.41214778 -9.547119 -23.614328
    Oben rechts KachelX + 1 62061 KachelY 74388 -0.16658073 -0.41214778 -9.544373 -23.614328
    Unten links KachelX 62060 KachelY + 1 74389 -0.16662866 -0.41219171 -9.547119 -23.616845
    Unten rechts KachelX + 1 62061 KachelY + 1 74389 -0.16658073 -0.41219171 -9.544373 -23.616845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41214778--0.41219171) × R
    4.39299999999698e-05 × 6371000     		dl = 279.878029999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41214778--0.41219171) × R
    4.39299999999698e-05 × 6371000     		dr = 279.878029999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16662866--0.16658073) × cos(-0.41214778) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.916262583012827 × 6371000     		do = 279.79180236185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16662866--0.16658073) × cos(-0.41219171) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.916244984729226 × 6371000     		du = 279.786428514245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41214778)-sin(-0.41219171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916262583012827-0.916244984729226)×R²
    abs(-0.16658073--0.16662866)×1.75982836012611e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.75982836012611e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.75982836012611e-05×40589641000000     		ar = 78306.8264568852m²