Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6206 / 10421
↖ ↑ ↗
← S 43.913723°
W 43.637695°		 ← 1 760.06 m → S 43.913723°
W 43.615723°		 →
↑
1 759.86 m
↓
↑
1 759.86 m
↓
S 43.929550°
W 43.637695°		 ← 1 759.59 m →
3 097 041 m²		 S 43.929550°
W 43.615723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378814697265625 y=0.636077880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378814697265625 × 214)
    floor (0.378814697265625 × 16384)
    floor (6206.5)     		tx = 6206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636077880859375 × 214)
    floor (0.636077880859375 × 16384)
    floor (10421.5)     		ty = 10421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6206 / 10421 ti = "14/6206/10421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6206/10421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6206 ÷ 214
    6206 ÷ 16384     		x = 0.3787841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10421 ÷ 214
    10421 ÷ 16384     		y = 0.63604736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.242431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76162146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63604736328125 × 2 - 1) × π
    -0.2720947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.854810794024841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76162146} λ = -0.76162146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854810794024841))-π/2
    2×atan(0.425363664815977)-π/2
    2×0.402178634483554-π/2
    0.804357268967107-1.57079632675     		φ = -0.76643906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76162146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76643906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.913723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6206 KachelY 10421 -0.76162146 -0.76643906 -43.637695 -43.913723
    Oben rechts KachelX + 1 6207 KachelY 10421 -0.76123797 -0.76643906 -43.615723 -43.913723
    Unten links KachelX 6206 KachelY + 1 10422 -0.76162146 -0.76671529 -43.637695 -43.929550
    Unten rechts KachelX + 1 6207 KachelY + 1 10422 -0.76123797 -0.76671529 -43.615723 -43.929550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76643906--0.76671529) × R
    0.000276230000000099 × 6371000     		dl = 1759.86133000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76643906--0.76671529) × R
    0.000276230000000099 × 6371000     		dr = 1759.86133000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76162146--0.76123797) × cos(-0.76643906) × R
    0.000383489999999931 × 0.720385008534475 × 6371000     		do = 1760.05530734539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76162146--0.76123797) × cos(-0.76671529) × R
    0.000383489999999931 × 0.72019339499839 × 6371000     		du = 1759.58715432006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76643906)-sin(-0.76671529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720385008534475-0.72019339499839)×R²
    abs(-0.76123797--0.76162146)×0.0001916135360851×R²
    0.000383489999999931×0.0001916135360851×6371000²
    0.000383489999999931×0.0001916135360851×40589641000000     		ar = 3097041.3515506m²