Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62058 / 34458
↖ ↑ ↗
← N 64.593256°
W  9.552612°		 ← 131.04 m → N 64.593256°
W  9.549866°		 →
↑
130.99 m
↓
↑
130.99 m
↓
N 64.592078°
W  9.552612°		 ← 131.05 m →
17 165 m²		 N 64.592078°
W  9.549866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473468780517578 y=0.262897491455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473468780517578 × 217)
    floor (0.473468780517578 × 131072)
    floor (62058.5)     		tx = 62058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262897491455078 × 217)
    floor (0.262897491455078 × 131072)
    floor (34458.5)     		ty = 34458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62058 / 34458 ti = "17/62058/34458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62058/34458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62058 ÷ 217
    62058 ÷ 131072     		x = 0.473464965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34458 ÷ 217
    34458 ÷ 131072     		y = 0.262893676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473464965820312 × 2 - 1) × π
    -0.053070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16672454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262893676757812 × 2 - 1) × π
    0.474212646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48978296639211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16672454} λ = -0.16672454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48978296639211))-π/2
    2×atan(4.4361326246486)-π/2
    2×1.34908066021593-π/2
    2.69816132043187-1.57079632675     		φ = 1.12736499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16672454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.552612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12736499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.593256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62058 KachelY 34458 -0.16672454 1.12736499 -9.552612 64.593256
    Oben rechts KachelX + 1 62059 KachelY 34458 -0.16667660 1.12736499 -9.549866 64.593256
    Unten links KachelX 62058 KachelY + 1 34459 -0.16672454 1.12734443 -9.552612 64.592078
    Unten rechts KachelX + 1 62059 KachelY + 1 34459 -0.16667660 1.12734443 -9.549866 64.592078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12736499-1.12734443) × R
    2.05600000000583e-05 × 6371000     		dl = 130.987760000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12736499-1.12734443) × R
    2.05600000000583e-05 × 6371000     		dr = 130.987760000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16672454--0.16667660) × cos(1.12736499) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429041459127591 × 6371000     		do = 131.040305144714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16672454--0.16667660) × cos(1.12734443) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429060030572356 × 6371000     		du = 131.045977341974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12736499)-sin(1.12734443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429041459127591-0.429060030572356)×R²
    abs(-0.16667660--0.16672454)×1.85714447653584e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85714447653584e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85714447653584e-05×40589641000000     		ar = 17165.0475355293m²