Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62054 / 74373
↖ ↑ ↗
← S 23.576574°
W  9.563598°		 ← 279.87 m → S 23.576574°
W  9.560852°		 →
↑
279.88 m
↓
↑
279.88 m
↓
S 23.579091°
W  9.563598°		 ← 279.87 m →
78 329 m²		 S 23.579091°
W  9.560852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473438262939453 y=0.567424774169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473438262939453 × 217)
    floor (0.473438262939453 × 131072)
    floor (62054.5)     		tx = 62054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567424774169922 × 217)
    floor (0.567424774169922 × 131072)
    floor (74373.5)     		ty = 74373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62054 / 74373 ti = "17/62054/74373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62054/74373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62054 ÷ 217
    62054 ÷ 131072     		x = 0.473434448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74373 ÷ 217
    74373 ÷ 131072     		y = 0.567420959472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473434448242188 × 2 - 1) × π
    -0.053131103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16691628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567420959472656 × 2 - 1) × π
    -0.134841918945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.423618381942436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16691628} λ = -0.16691628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423618381942436))-π/2
    2×atan(0.654673669538199)-π/2
    2×0.579653739416563-π/2
    1.15930747883313-1.57079632675     		φ = -0.41148885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16691628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.563598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41148885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.576574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62054 KachelY 74373 -0.16691628 -0.41148885 -9.563598 -23.576574
    Oben rechts KachelX + 1 62055 KachelY 74373 -0.16686835 -0.41148885 -9.560852 -23.576574
    Unten links KachelX 62054 KachelY + 1 74374 -0.16691628 -0.41153278 -9.563598 -23.579091
    Unten rechts KachelX + 1 62055 KachelY + 1 74374 -0.16686835 -0.41153278 -9.560852 -23.579091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41148885--0.41153278) × R
    4.39299999999698e-05 × 6371000     		dl = 279.878029999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41148885--0.41153278) × R
    4.39299999999698e-05 × 6371000     		dr = 279.878029999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16691628--0.16686835) × cos(-0.41148885) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.916526337058989 × 6371000     		do = 279.872342832806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16691628--0.16686835) × cos(-0.41153278) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.916508765301816 × 6371000     		du = 279.866977085365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41148885)-sin(-0.41153278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916526337058989-0.916508765301816)×R²
    abs(-0.16686835--0.16691628)×1.75717571723188e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.75717571723188e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.75717571723188e-05×40589641000000     		ar = 78329.3690986491m²