Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62053 / 38474
↖ ↑ ↗
← N 59.431110°
W  9.566345°		 ← 155.33 m → N 59.431110°
W  9.563598°		 →
↑
155.32 m
↓
↑
155.32 m
↓
N 59.429713°
W  9.566345°		 ← 155.34 m →
24 127 m²		 N 59.429713°
W  9.563598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473430633544922 y=0.293537139892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473430633544922 × 217)
    floor (0.473430633544922 × 131072)
    floor (62053.5)     		tx = 62053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293537139892578 × 217)
    floor (0.293537139892578 × 131072)
    floor (38474.5)     		ty = 38474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62053 / 38474 ti = "17/62053/38474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62053/38474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62053 ÷ 217
    62053 ÷ 131072     		x = 0.473426818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38474 ÷ 217
    38474 ÷ 131072     		y = 0.293533325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473426818847656 × 2 - 1) × π
    -0.0531463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16696422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293533325195312 × 2 - 1) × π
    0.412933349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29726837751796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16696422} λ = -0.16696422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29726837751796))-π/2
    2×atan(3.65928721160026)-π/2
    2×1.30403243352774-π/2
    2.60806486705549-1.57079632675     		φ = 1.03726854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16696422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.566345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03726854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.431110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62053 KachelY 38474 -0.16696422 1.03726854 -9.566345 59.431110
    Oben rechts KachelX + 1 62054 KachelY 38474 -0.16691628 1.03726854 -9.563598 59.431110
    Unten links KachelX 62053 KachelY + 1 38475 -0.16696422 1.03724416 -9.566345 59.429713
    Unten rechts KachelX + 1 62054 KachelY + 1 38475 -0.16691628 1.03724416 -9.563598 59.429713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03726854-1.03724416) × R
    2.4379999999935e-05 × 6371000     		dl = 155.324979999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03726854-1.03724416) × R
    2.4379999999935e-05 × 6371000     		dr = 155.324979999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16696422--0.16691628) × cos(1.03726854) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.508573988532623 × 6371000     		do = 155.331586792316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16696422--0.16691628) × cos(1.03724416) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.508594980007422 × 6371000     		du = 155.33799812904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03726854)-sin(1.03724416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508573988532623-0.508594980007422)×R²
    abs(-0.16691628--0.16696422)×2.09914747988371e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.09914747988371e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.09914747988371e-05×40589641000000     		ar = 24127.3735333658m²