Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62052 / 74372
↖ ↑ ↗
← S 23.574057°
W  9.569092°		 ← 279.94 m → S 23.574057°
W  9.566345°		 →
↑
279.94 m
↓
↑
279.94 m
↓
S 23.576574°
W  9.569092°		 ← 279.93 m →
78 365 m²		 S 23.576574°
W  9.566345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473423004150391 y=0.567417144775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473423004150391 × 217)
    floor (0.473423004150391 × 131072)
    floor (62052.5)     		tx = 62052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567417144775391 × 217)
    floor (0.567417144775391 × 131072)
    floor (74372.5)     		ty = 74372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62052 / 74372 ti = "17/62052/74372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62052/74372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62052 ÷ 217
    62052 ÷ 131072     		x = 0.473419189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74372 ÷ 217
    74372 ÷ 131072     		y = 0.567413330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473419189453125 × 2 - 1) × π
    -0.05316162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16701216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.13482666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.423570445042816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16701216} λ = -0.16701216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423570445042816))-π/2
    2×atan(0.654705053316395)-π/2
    2×0.579675707342686-π/2
    1.15935141468537-1.57079632675     		φ = -0.41144491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16701216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.569092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41144491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.574057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62052 KachelY 74372 -0.16701216 -0.41144491 -9.569092 -23.574057
    Oben rechts KachelX + 1 62053 KachelY 74372 -0.16696422 -0.41144491 -9.566345 -23.574057
    Unten links KachelX 62052 KachelY + 1 74373 -0.16701216 -0.41148885 -9.569092 -23.576574
    Unten rechts KachelX + 1 62053 KachelY + 1 74373 -0.16696422 -0.41148885 -9.566345 -23.576574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41144491--0.41148885) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dl = 279.941740000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41144491--0.41148885) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dr = 279.941740000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16701216--0.16696422) × cos(-0.41144491) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.916543911046748 × 6371000     		do = 279.936102273926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16701216--0.16696422) × cos(-0.41148885) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.916526337058989 × 6371000     		du = 279.93073472571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41144491)-sin(-0.41148885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916543911046748-0.916526337058989)×R²
    abs(-0.16696422--0.16701216)×1.75739877594783e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.75739877594783e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.75739877594783e-05×40589641000000     		ar = 78365.0482717136m²