Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62051 / 74371
↖ ↑ ↗
← S 23.571540°
W  9.571839°		 ← 279.94 m → S 23.571540°
W  9.569092°		 →
↑
279.88 m
↓
↑
279.88 m
↓
S 23.574057°
W  9.571839°		 ← 279.94 m →
78 349 m²		 S 23.574057°
W  9.569092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473415374755859 y=0.567409515380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473415374755859 × 217)
    floor (0.473415374755859 × 131072)
    floor (62051.5)     		tx = 62051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567409515380859 × 217)
    floor (0.567409515380859 × 131072)
    floor (74371.5)     		ty = 74371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62051 / 74371 ti = "17/62051/74371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62051/74371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62051 ÷ 217
    62051 ÷ 131072     		x = 0.473411560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74371 ÷ 217
    74371 ÷ 131072     		y = 0.567405700683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473411560058594 × 2 - 1) × π
    -0.0531768798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16706010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567405700683594 × 2 - 1) × π
    -0.134811401367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.423522508143196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16706010} λ = -0.16706010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423522508143196))-π/2
    2×atan(0.654736438599067)-π/2
    2×0.579697675689972-π/2
    1.15939535137994-1.57079632675     		φ = -0.41140098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16706010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.571839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41140098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.571540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62051 KachelY 74371 -0.16706010 -0.41140098 -9.571839 -23.571540
    Oben rechts KachelX + 1 62052 KachelY 74371 -0.16701216 -0.41140098 -9.569092 -23.571540
    Unten links KachelX 62051 KachelY + 1 74372 -0.16706010 -0.41144491 -9.571839 -23.574057
    Unten rechts KachelX + 1 62052 KachelY + 1 74372 -0.16701216 -0.41144491 -9.569092 -23.574057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41140098--0.41144491) × R
    4.39299999999698e-05 × 6371000     		dl = 279.878029999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41140098--0.41144491) × R
    4.39299999999698e-05 × 6371000     		dr = 279.878029999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16706010--0.16701216) × cos(-0.41140098) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.916561479265977 × 6371000     		do = 279.941468060284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16706010--0.16701216) × cos(-0.41144491) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.916543911046748 × 6371000     		du = 279.936102273926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41140098)-sin(-0.41144491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916561479265977-0.916543911046748)×R²
    abs(-0.16701216--0.16706010)×1.7568219228381e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.7568219228381e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.7568219228381e-05×40589641000000     		ar = 78348.7157256903m²