Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62051 / 28001
↖ ↑ ↗
← N 71.215191°
W  9.571839°		 ← 98.35 m → N 71.215191°
W  9.569092°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
N 71.214306°
W  9.571839°		 ← 98.36 m →
9 675 m²		 N 71.214306°
W  9.569092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473415374755859 y=0.213634490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473415374755859 × 217)
    floor (0.473415374755859 × 131072)
    floor (62051.5)     		tx = 62051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213634490966797 × 217)
    floor (0.213634490966797 × 131072)
    floor (28001.5)     		ty = 28001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62051 / 28001 ti = "17/62051/28001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62051/28001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62051 ÷ 217
    62051 ÷ 131072     		x = 0.473411560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28001 ÷ 217
    28001 ÷ 131072     		y = 0.213630676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473411560058594 × 2 - 1) × π
    -0.0531768798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16706010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213630676269531 × 2 - 1) × π
    0.572738647460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.79931152723881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16706010} λ = -0.16706010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79931152723881))-π/2
    2×atan(6.04548388034045)-π/2
    2×1.40686794224073-π/2
    2.81373588448145-1.57079632675     		φ = 1.24293956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16706010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.571839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24293956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.215191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62051 KachelY 28001 -0.16706010 1.24293956 -9.571839 71.215191
    Oben rechts KachelX + 1 62052 KachelY 28001 -0.16701216 1.24293956 -9.569092 71.215191
    Unten links KachelX 62051 KachelY + 1 28002 -0.16706010 1.24292412 -9.571839 71.214306
    Unten rechts KachelX + 1 62052 KachelY + 1 28002 -0.16701216 1.24292412 -9.569092 71.214306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24293956-1.24292412) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dl = 98.3682399991506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24293956-1.24292412) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dr = 98.3682399991506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16706010--0.16701216) × cos(1.24293956) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.322014696345847 × 6371000     		do = 98.3515769222982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16706010--0.16701216) × cos(1.24292412) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.322029313890768 × 6371000     		du = 98.3560414967725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24293956)-sin(1.24292412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322014696345847-0.322029313890768)×R²
    abs(-0.16701216--0.16706010)×1.46175449206032e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.46175449206032e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.46175449206032e-05×40589641000000     		ar = 9674.89110922428m²