Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6205 / 2122
↖ ↑ ↗
← N 65.183030°
E 92.680664°		 ← 2 050.96 m → N 65.183030°
E 92.724609°		 →
↑
2 051.65 m
↓
↑
2 051.65 m
↓
N 65.164579°
E 92.680664°		 ← 2 052.39 m →
4 209 331 m²		 N 65.164579°
E 92.724609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75750732421875 y=0.25909423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75750732421875 × 213)
    floor (0.75750732421875 × 8192)
    floor (6205.5)     		tx = 6205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25909423828125 × 213)
    floor (0.25909423828125 × 8192)
    floor (2122.5)     		ty = 2122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6205 / 2122 ti = "13/6205/2122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6205/2122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6205 ÷ 213
    6205 ÷ 8192     		x = 0.7574462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2122 ÷ 213
    2122 ÷ 8192     		y = 0.259033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7574462890625 × 2 - 1) × π
    0.514892578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.61758274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259033203125 × 2 - 1) × π
    0.48193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51403903759985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61758274} λ = 1.61758274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51403903759985))-π/2
    2×atan(4.54505140410621)-π/2
    2×1.35422740898778-π/2
    2.70845481797556-1.57079632675     		φ = 1.13765849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61758274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.680664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13765849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.183030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6205 KachelY 2122 1.61758274 1.13765849 92.680664 65.183030
    Oben rechts KachelX + 1 6206 KachelY 2122 1.61834973 1.13765849 92.724609 65.183030
    Unten links KachelX 6205 KachelY + 1 2123 1.61758274 1.13733646 92.680664 65.164579
    Unten rechts KachelX + 1 6206 KachelY + 1 2123 1.61834973 1.13733646 92.724609 65.164579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13765849-1.13733646) × R
    0.000322029999999973 × 6371000     		dl = 2051.65312999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13765849-1.13733646) × R
    0.000322029999999973 × 6371000     		dr = 2051.65312999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61758274-1.61834973) × cos(1.13765849) × R
    0.000766990000000023 × 0.419720931666003 × 6371000     		do = 2050.96351625854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61758274-1.61834973) × cos(1.13733646) × R
    0.000766990000000023 × 0.420013201459149 × 6371000     		du = 2052.39169064161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13765849)-sin(1.13733646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419720931666003-0.420013201459149)×R²
    abs(1.61834973-1.61758274)×0.000292269793145228×R²
    0.000766990000000023×0.000292269793145228×6371000²
    0.000766990000000023×0.000292269793145228×40589641000000     		ar = 4209330.8132457m²