Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62047 / 12961
↖ ↑ ↗
← N 72.969580°
E160.834351°		 ← 178.89 m → N 72.969580°
E160.839844°		 →
↑
178.90 m
↓
↑
178.90 m
↓
N 72.967971°
E160.834351°		 ← 178.90 m →
32 004 m²		 N 72.967971°
E160.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946769714355469 y=0.197776794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946769714355469 × 216)
    floor (0.946769714355469 × 65536)
    floor (62047.5)     		tx = 62047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197776794433594 × 216)
    floor (0.197776794433594 × 65536)
    floor (12961.5)     		ty = 12961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62047 / 12961 ti = "16/62047/12961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62047/12961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62047 ÷ 216
    62047 ÷ 65536     		x = 0.946762084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12961 ÷ 216
    12961 ÷ 65536     		y = 0.197769165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946762084960938 × 2 - 1) × π
    0.893524169921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80708897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197769165039062 × 2 - 1) × π
    0.604461669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8989723415489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80708897} λ = 2.80708897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8989723415489))-π/2
    2×atan(6.67902715556951)-π/2
    2×1.42217787807501-π/2
    2.84435575615002-1.57079632675     		φ = 1.27355943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80708897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.834351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27355943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.969580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62047 KachelY 12961 2.80708897 1.27355943 160.834351 72.969580
    Oben rechts KachelX + 1 62048 KachelY 12961 2.80718484 1.27355943 160.839844 72.969580
    Unten links KachelX 62047 KachelY + 1 12962 2.80708897 1.27353135 160.834351 72.967971
    Unten rechts KachelX + 1 62048 KachelY + 1 12962 2.80718484 1.27353135 160.839844 72.967971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27355943-1.27353135) × R
    2.80799999998749e-05 × 6371000     		dl = 178.897679999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27355943-1.27353135) × R
    2.80799999998749e-05 × 6371000     		dr = 178.897679999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80708897-2.80718484) × cos(1.27355943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292879388596025 × 6371000     		do = 178.887148639526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80708897-2.80718484) × cos(1.27353135) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29290623715554 × 6371000     		du = 178.90354741132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27355943)-sin(1.27353135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292879388596025-0.29290623715554)×R²
    abs(2.80718484-2.80708897)×2.68485595154577e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68485595154577e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68485595154577e-05×40589641000000     		ar = 32003.9627262804m²