Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62044 / 39357
↖ ↑ ↗
← N 58.175048°
W  9.591064°		 ← 161.03 m → N 58.175048°
W  9.588318°		 →
↑
161.06 m
↓
↑
161.06 m
↓
N 58.173600°
W  9.591064°		 ← 161.03 m →
25 935 m²		 N 58.173600°
W  9.588318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473361968994141 y=0.300273895263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473361968994141 × 217)
    floor (0.473361968994141 × 131072)
    floor (62044.5)     		tx = 62044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300273895263672 × 217)
    floor (0.300273895263672 × 131072)
    floor (39357.5)     		ty = 39357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62044 / 39357 ti = "17/62044/39357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62044/39357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62044 ÷ 217
    62044 ÷ 131072     		x = 0.473358154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39357 ÷ 217
    39357 ÷ 131072     		y = 0.300270080566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473358154296875 × 2 - 1) × π
    -0.05328369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16739565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300270080566406 × 2 - 1) × π
    0.399459838867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.25494009515345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16739565} λ = -0.16739565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25494009515345))-π/2
    2×atan(3.50762824411702)-π/2
    2×1.29307122652319-π/2
    2.58614245304638-1.57079632675     		φ = 1.01534613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16739565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.591064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01534613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.175048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62044 KachelY 39357 -0.16739565 1.01534613 -9.591064 58.175048
    Oben rechts KachelX + 1 62045 KachelY 39357 -0.16734772 1.01534613 -9.588318 58.175048
    Unten links KachelX 62044 KachelY + 1 39358 -0.16739565 1.01532085 -9.591064 58.173600
    Unten rechts KachelX + 1 62045 KachelY + 1 39358 -0.16734772 1.01532085 -9.588318 58.173600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01534613-1.01532085) × R
    2.52800000000164e-05 × 6371000     		dl = 161.058880000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01534613-1.01532085) × R
    2.52800000000164e-05 × 6371000     		dr = 161.058880000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16739565--0.16734772) × cos(1.01534613) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.527325869244884 × 6371000     		do = 161.025297904138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16739565--0.16734772) × cos(1.01532085) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.527347348560205 × 6371000     		du = 161.031856871467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01534613)-sin(1.01532085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527325869244884-0.527347348560205)×R²
    abs(-0.16734772--0.16739565)×2.14793153208159e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14793153208159e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14793153208159e-05×40589641000000     		ar = 25935.0823234522m²