Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62042 / 13013
↖ ↑ ↗
← N 72.885721°
E160.806885°		 ← 179.74 m → N 72.885721°
E160.812378°		 →
↑
179.73 m
↓
↑
179.73 m
↓
N 72.884105°
E160.806885°		 ← 179.76 m →
32 306 m²		 N 72.884105°
E160.812378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946693420410156 y=0.198570251464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946693420410156 × 216)
    floor (0.946693420410156 × 65536)
    floor (62042.5)     		tx = 62042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198570251464844 × 216)
    floor (0.198570251464844 × 65536)
    floor (13013.5)     		ty = 13013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62042 / 13013 ti = "16/62042/13013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62042/13013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62042 ÷ 216
    62042 ÷ 65536     		x = 0.946685791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13013 ÷ 216
    13013 ÷ 65536     		y = 0.198562622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946685791015625 × 2 - 1) × π
    0.89337158203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80660960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198562622070312 × 2 - 1) × π
    0.602874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89398690398842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80660960} λ = 2.80660960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89398690398842))-π/2
    2×atan(6.64581214719121)-π/2
    2×1.42144606956638-π/2
    2.84289213913277-1.57079632675     		φ = 1.27209581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80660960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.806885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27209581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.885721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62042 KachelY 13013 2.80660960 1.27209581 160.806885 72.885721
    Oben rechts KachelX + 1 62043 KachelY 13013 2.80670547 1.27209581 160.812378 72.885721
    Unten links KachelX 62042 KachelY + 1 13014 2.80660960 1.27206760 160.806885 72.884105
    Unten rechts KachelX + 1 62043 KachelY + 1 13014 2.80670547 1.27206760 160.812378 72.884105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27209581-1.27206760) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dl = 179.725909999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27209581-1.27206760) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dr = 179.725909999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80660960-2.80670547) × cos(1.27209581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294278513771855 × 6371000     		do = 179.741717185622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80660960-2.80670547) × cos(1.27206760) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294305474507662 × 6371000     		du = 179.758184473323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27209581)-sin(1.27206760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294278513771855-0.294305474507662)×R²
    abs(2.80670547-2.80660960)×2.69607358071022e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.69607358071022e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.69607358071022e-05×40589641000000     		ar = 32305.7234872117m²