Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 62040 / 12999
↖ ↑ ↗
← N 72.908338°
E160.795898°		 ← 179.53 m → N 72.908338°
E160.801392°		 →
↑
179.53 m
↓
↑
179.53 m
↓
N 72.906723°
E160.795898°		 ← 179.55 m →
32 233 m²		 N 72.906723°
E160.801392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946662902832031 y=0.198356628417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946662902832031 × 216)
    floor (0.946662902832031 × 65536)
    floor (62040.5)     		tx = 62040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198356628417969 × 216)
    floor (0.198356628417969 × 65536)
    floor (12999.5)     		ty = 12999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62040 / 12999 ti = "16/62040/12999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62040/12999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62040 ÷ 216
    62040 ÷ 65536     		x = 0.9466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12999 ÷ 216
    12999 ÷ 65536     		y = 0.198348999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9466552734375 × 2 - 1) × π
    0.893310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80641785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198348999023438 × 2 - 1) × π
    0.603302001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.89532913717778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80641785} λ = 2.80641785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89532913717778))-π/2
    2×atan(6.6547383660189)-π/2
    2×1.42164343813467-π/2
    2.84328687626933-1.57079632675     		φ = 1.27249055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80641785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.795898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27249055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.908338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62040 KachelY 12999 2.80641785 1.27249055 160.795898 72.908338
    Oben rechts KachelX + 1 62041 KachelY 12999 2.80651373 1.27249055 160.801392 72.908338
    Unten links KachelX 62040 KachelY + 1 13000 2.80641785 1.27246237 160.795898 72.906723
    Unten rechts KachelX + 1 62041 KachelY + 1 13000 2.80651373 1.27246237 160.801392 72.906723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27249055-1.27246237) × R
    2.81800000001553e-05 × 6371000     		dl = 179.534780000989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27249055-1.27246237) × R
    2.81800000001553e-05 × 6371000     		dr = 179.534780000989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80641785-2.80651373) × cos(1.27249055) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.293901230057738 × 6371000     		do = 179.530001354472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80641785-2.80651373) × cos(1.27246237) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.293928165393742 × 6371000     		du = 179.546454844334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27249055)-sin(1.27246237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293901230057738-0.293928165393742)×R²
    abs(2.80651373-2.80641785)×2.69353360038971e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.69353360038971e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.69353360038971e-05×40589641000000     		ar = 32233.3562855367m²