Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62039 / 39336
↖ ↑ ↗
← N 58.205450°
W  9.604797°		 ← 160.92 m → N 58.205450°
W  9.602051°		 →
↑
160.93 m
↓
↑
160.93 m
↓
N 58.204003°
W  9.604797°		 ← 160.93 m →
25 898 m²		 N 58.204003°
W  9.602051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473323822021484 y=0.300113677978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473323822021484 × 217)
    floor (0.473323822021484 × 131072)
    floor (62039.5)     		tx = 62039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300113677978516 × 217)
    floor (0.300113677978516 × 131072)
    floor (39336.5)     		ty = 39336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62039 / 39336 ti = "17/62039/39336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62039/39336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62039 ÷ 217
    62039 ÷ 131072     		x = 0.473320007324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39336 ÷ 217
    39336 ÷ 131072     		y = 0.30010986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473320007324219 × 2 - 1) × π
    -0.0533599853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16763534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30010986328125 × 2 - 1) × π
    0.3997802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25594677004547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16763534} λ = -0.16763534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25594677004547))-π/2
    2×atan(3.51116106330276)-π/2
    2×1.29333653588827-π/2
    2.58667307177654-1.57079632675     		φ = 1.01587675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16763534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.604797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01587675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.205450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62039 KachelY 39336 -0.16763534 1.01587675 -9.604797 58.205450
    Oben rechts KachelX + 1 62040 KachelY 39336 -0.16758740 1.01587675 -9.602051 58.205450
    Unten links KachelX 62039 KachelY + 1 39337 -0.16763534 1.01585149 -9.604797 58.204003
    Unten rechts KachelX + 1 62040 KachelY + 1 39337 -0.16758740 1.01585149 -9.602051 58.204003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01587675-1.01585149) × R
    2.52600000001379e-05 × 6371000     		dl = 160.931460000879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01587675-1.01585149) × R
    2.52600000001379e-05 × 6371000     		dr = 160.931460000879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16763534--0.16758740) × cos(1.01587675) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.526874946781844 × 6371000     		do = 160.921170508293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16763534--0.16758740) × cos(1.01585149) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.526896416169282 × 6371000     		du = 160.927727811839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01587675)-sin(1.01585149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526874946781844-0.526896416169282)×R²
    abs(-0.16758740--0.16763534)×2.1469387438855e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1469387438855e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1469387438855e-05×40589641000000     		ar = 25897.8065546314m²