Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62038 / 39340
↖ ↑ ↗
← N 58.199661°
W  9.607544°		 ← 160.91 m → N 58.199661°
W  9.604797°		 →
↑
160.93 m
↓
↑
160.93 m
↓
N 58.198214°
W  9.607544°		 ← 160.92 m →
25 897 m²		 N 58.198214°
W  9.604797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473316192626953 y=0.300144195556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473316192626953 × 217)
    floor (0.473316192626953 × 131072)
    floor (62038.5)     		tx = 62038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300144195556641 × 217)
    floor (0.300144195556641 × 131072)
    floor (39340.5)     		ty = 39340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62038 / 39340 ti = "17/62038/39340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62038/39340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62038 ÷ 217
    62038 ÷ 131072     		x = 0.473312377929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39340 ÷ 217
    39340 ÷ 131072     		y = 0.300140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473312377929688 × 2 - 1) × π
    -0.053375244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16768327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300140380859375 × 2 - 1) × π
    0.39971923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25575502244699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16768327} λ = -0.16768327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25575502244699))-π/2
    2×atan(3.51048787114454)-π/2
    2×1.29328601826865-π/2
    2.58657203653729-1.57079632675     		φ = 1.01577571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16768327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.607544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01577571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.199661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62038 KachelY 39340 -0.16768327 1.01577571 -9.607544 58.199661
    Oben rechts KachelX + 1 62039 KachelY 39340 -0.16763534 1.01577571 -9.604797 58.199661
    Unten links KachelX 62038 KachelY + 1 39341 -0.16768327 1.01575045 -9.607544 58.198214
    Unten rechts KachelX + 1 62039 KachelY + 1 39341 -0.16763534 1.01575045 -9.604797 58.198214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01577571-1.01575045) × R
    2.52599999999159e-05 × 6371000     		dl = 160.931459999464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01577571-1.01575045) × R
    2.52599999999159e-05 × 6371000     		dr = 160.931459999464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16768327--0.16763534) × cos(1.01577571) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.52696082231437 × 6371000     		do = 160.913826432391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16768327--0.16763534) × cos(1.01575045) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.526982290356945 × 6371000     		du = 160.920381957451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01577571)-sin(1.01575045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52696082231437-0.526982290356945)×R²
    abs(-0.16763534--0.16768327)×2.14680425743019e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14680425743019e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14680425743019e-05×40589641000000     		ar = 25896.6245183837m²