Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62037 / 39339
↖ ↑ ↗
← N 58.201108°
W  9.610290°		 ← 160.94 m → N 58.201108°
W  9.607544°		 →
↑
160.93 m
↓
↑
160.93 m
↓
N 58.199661°
W  9.610290°		 ← 160.95 m →
25 901 m²		 N 58.199661°
W  9.607544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473308563232422 y=0.300136566162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473308563232422 × 217)
    floor (0.473308563232422 × 131072)
    floor (62037.5)     		tx = 62037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300136566162109 × 217)
    floor (0.300136566162109 × 131072)
    floor (39339.5)     		ty = 39339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62037 / 39339 ti = "17/62037/39339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62037/39339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62037 ÷ 217
    62037 ÷ 131072     		x = 0.473304748535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39339 ÷ 217
    39339 ÷ 131072     		y = 0.300132751464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473304748535156 × 2 - 1) × π
    -0.0533905029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16773121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300132751464844 × 2 - 1) × π
    0.399734497070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.25580295934661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16773121} λ = -0.16773121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25580295934661))-π/2
    2×atan(3.51065615708276)-π/2
    2×1.29329864844539-π/2
    2.58659729689077-1.57079632675     		φ = 1.01580097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16773121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.610290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01580097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.201108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62037 KachelY 39339 -0.16773121 1.01580097 -9.610290 58.201108
    Oben rechts KachelX + 1 62038 KachelY 39339 -0.16768327 1.01580097 -9.607544 58.201108
    Unten links KachelX 62037 KachelY + 1 39340 -0.16773121 1.01577571 -9.610290 58.199661
    Unten rechts KachelX + 1 62038 KachelY + 1 39340 -0.16768327 1.01577571 -9.607544 58.199661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01580097-1.01577571) × R
    2.52599999999159e-05 × 6371000     		dl = 160.931459999464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01580097-1.01577571) × R
    2.52599999999159e-05 × 6371000     		dr = 160.931459999464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16773121--0.16768327) × cos(1.01580097) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52693935393556 × 6371000     		do = 160.940842110878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16773121--0.16768327) × cos(1.01577571) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52696082231437 × 6371000     		du = 160.947399106363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01580097)-sin(1.01577571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52693935393556-0.52696082231437)×R²
    abs(-0.16768327--0.16773121)×2.1468378810896e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1468378810896e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1468378810896e-05×40589641000000     		ar = 25900.9723093021m²