Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 62036 / 13004
↖ ↑ ↗
← N 72.900264°
E160.773926°		 ← 179.59 m → N 72.900264°
E160.779419°		 →
↑
179.60 m
↓
↑
179.60 m
↓
N 72.898649°
E160.773926°		 ← 179.61 m →
32 256 m²		 N 72.898649°
E160.779419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946601867675781 y=0.198432922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946601867675781 × 216)
    floor (0.946601867675781 × 65536)
    floor (62036.5)     		tx = 62036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198432922363281 × 216)
    floor (0.198432922363281 × 65536)
    floor (13004.5)     		ty = 13004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62036 / 13004 ti = "16/62036/13004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62036/13004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62036 ÷ 216
    62036 ÷ 65536     		x = 0.94659423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13004 ÷ 216
    13004 ÷ 65536     		y = 0.19842529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94659423828125 × 2 - 1) × π
    0.8931884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80603436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19842529296875 × 2 - 1) × π
    0.6031494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89484976818158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80603436} λ = 2.80603436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89484976818158))-π/2
    2×atan(6.65154905525783)-π/2
    2×1.42157297842494-π/2
    2.84314595684989-1.57079632675     		φ = 1.27234963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80603436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.773926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27234963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.900264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62036 KachelY 13004 2.80603436 1.27234963 160.773926 72.900264
    Oben rechts KachelX + 1 62037 KachelY 13004 2.80613023 1.27234963 160.779419 72.900264
    Unten links KachelX 62036 KachelY + 1 13005 2.80603436 1.27232144 160.773926 72.898649
    Unten rechts KachelX + 1 62037 KachelY + 1 13005 2.80613023 1.27232144 160.779419 72.898649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27234963-1.27232144) × R
    2.81899999998725e-05 × 6371000     		dl = 179.598489999188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27234963-1.27232144) × R
    2.81899999998725e-05 × 6371000     		dr = 179.598489999188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80603436-2.80613023) × cos(1.27234963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29403592351931 × 6371000     		do = 179.593546026246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80603436-2.80613023) × cos(1.27232144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294062867245735 × 6371000     		du = 179.610002924825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27234963)-sin(1.27232144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29403592351931-0.294062867245735)×R²
    abs(2.80613023-2.80603436)×2.69437264248107e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.69437264248107e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.69437264248107e-05×40589641000000     		ar = 32256.2074990528m²