Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62034 / 39375
↖ ↑ ↗
← N 58.148968°
W  9.618530°		 ← 161.14 m → N 58.148968°
W  9.615784°		 →
↑
161.19 m
↓
↑
161.19 m
↓
N 58.147519°
W  9.618530°		 ← 161.15 m →
25 975 m²		 N 58.147519°
W  9.615784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473285675048828 y=0.300411224365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473285675048828 × 217)
    floor (0.473285675048828 × 131072)
    floor (62034.5)     		tx = 62034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300411224365234 × 217)
    floor (0.300411224365234 × 131072)
    floor (39375.5)     		ty = 39375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62034 / 39375 ti = "17/62034/39375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62034/39375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62034 ÷ 217
    62034 ÷ 131072     		x = 0.473281860351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39375 ÷ 217
    39375 ÷ 131072     		y = 0.300407409667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473281860351562 × 2 - 1) × π
    -0.053436279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16787502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300407409667969 × 2 - 1) × π
    0.399185180664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.25407723096029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16787502} λ = -0.16787502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25407723096029))-π/2
    2×atan(3.50460294270208)-π/2
    2×1.29284363780688-π/2
    2.58568727561376-1.57079632675     		φ = 1.01489095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16787502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.618530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01489095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.148968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62034 KachelY 39375 -0.16787502 1.01489095 -9.618530 58.148968
    Oben rechts KachelX + 1 62035 KachelY 39375 -0.16782709 1.01489095 -9.615784 58.148968
    Unten links KachelX 62034 KachelY + 1 39376 -0.16787502 1.01486565 -9.618530 58.147519
    Unten rechts KachelX + 1 62035 KachelY + 1 39376 -0.16782709 1.01486565 -9.615784 58.147519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01489095-1.01486565) × R
    2.53000000001169e-05 × 6371000     		dl = 161.186300000745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01489095-1.01486565) × R
    2.53000000001169e-05 × 6371000     		dr = 161.186300000745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16787502--0.16782709) × cos(1.01489095) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.527712564265191 × 6371000     		do = 161.14337988053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16787502--0.16782709) × cos(1.01486565) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.527734054498444 × 6371000     		du = 161.149942181781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01489095)-sin(1.01486565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527712564265191-0.527734054498444)×R²
    abs(-0.16782709--0.16787502)×2.14902332530409e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14902332530409e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14902332530409e-05×40589641000000     		ar = 25974.6340504724m²