Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62033 / 13008
↖ ↑ ↗
← N 72.893802°
E160.757446°		 ← 179.68 m → N 72.893802°
E160.762940°		 →
↑
179.66 m
↓
↑
179.66 m
↓
N 72.892186°
E160.757446°		 ← 179.69 m →
32 283 m²		 N 72.892186°
E160.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946556091308594 y=0.198493957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946556091308594 × 216)
    floor (0.946556091308594 × 65536)
    floor (62033.5)     		tx = 62033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198493957519531 × 216)
    floor (0.198493957519531 × 65536)
    floor (13008.5)     		ty = 13008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62033 / 13008 ti = "16/62033/13008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62033/13008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62033 ÷ 216
    62033 ÷ 65536     		x = 0.946548461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13008 ÷ 216
    13008 ÷ 65536     		y = 0.198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946548461914062 × 2 - 1) × π
    0.893096923828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80574673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198486328125 × 2 - 1) × π
    0.60302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89446627298462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80574673} λ = 2.80574673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89446627298462))-π/2
    2×atan(6.64899870719716)-π/2
    2×1.42151658740865-π/2
    2.8430331748173-1.57079632675     		φ = 1.27223685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80574673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.757446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27223685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.893802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62033 KachelY 13008 2.80574673 1.27223685 160.757446 72.893802
    Oben rechts KachelX + 1 62034 KachelY 13008 2.80584261 1.27223685 160.762940 72.893802
    Unten links KachelX 62033 KachelY + 1 13009 2.80574673 1.27220865 160.757446 72.892186
    Unten rechts KachelX + 1 62034 KachelY + 1 13009 2.80584261 1.27220865 160.762940 72.892186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27223685-1.27220865) × R
    2.82000000000338e-05 × 6371000     		dl = 179.662200000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27223685-1.27220865) × R
    2.82000000000338e-05 × 6371000     		dr = 179.662200000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80574673-2.80584261) × cos(1.27223685) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.29414371613804 × 6371000     		do = 179.678124335504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80574673-2.80584261) × cos(1.27220865) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.294170668486961 × 6371000     		du = 179.694588217731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27223685)-sin(1.27220865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29414371613804-0.294170668486961)×R²
    abs(2.80584261-2.80574673)×2.69523489208057e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.69523489208057e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.69523489208057e-05×40589641000000     		ar = 32282.8460807396m²