Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62032 / 39376
↖ ↑ ↗
← N 58.147519°
W  9.624024°		 ← 161.18 m → N 58.147519°
W  9.621277°		 →
↑
161.19 m
↓
↑
161.19 m
↓
N 58.146069°
W  9.624024°		 ← 161.19 m →
25 981 m²		 N 58.146069°
W  9.621277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473270416259766 y=0.300418853759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473270416259766 × 217)
    floor (0.473270416259766 × 131072)
    floor (62032.5)     		tx = 62032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300418853759766 × 217)
    floor (0.300418853759766 × 131072)
    floor (39376.5)     		ty = 39376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62032 / 39376 ti = "17/62032/39376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62032/39376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62032 ÷ 217
    62032 ÷ 131072     		x = 0.4732666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39376 ÷ 217
    39376 ÷ 131072     		y = 0.3004150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16797090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3004150390625 × 2 - 1) × π
    0.399169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25402929406067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16797090} λ = -0.16797090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25402929406067))-π/2
    2×atan(3.50443494692924)-π/2
    2×1.29283098909723-π/2
    2.58566197819446-1.57079632675     		φ = 1.01486565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16797090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.624024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01486565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.147519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62032 KachelY 39376 -0.16797090 1.01486565 -9.624024 58.147519
    Oben rechts KachelX + 1 62033 KachelY 39376 -0.16792296 1.01486565 -9.621277 58.147519
    Unten links KachelX 62032 KachelY + 1 39377 -0.16797090 1.01484035 -9.624024 58.146069
    Unten rechts KachelX + 1 62033 KachelY + 1 39377 -0.16792296 1.01484035 -9.621277 58.146069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01486565-1.01484035) × R
    2.52999999998949e-05 × 6371000     		dl = 161.18629999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01486565-1.01484035) × R
    2.52999999998949e-05 × 6371000     		dr = 161.18629999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16797090--0.16792296) × cos(1.01486565) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527734054498444 × 6371000     		do = 161.183564118375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16797090--0.16792296) × cos(1.01484035) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.5277555443939 × 6371000     		du = 161.190127685597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01486565)-sin(1.01484035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527734054498444-0.5277555443939)×R²
    abs(-0.16792296--0.16797090)×2.14898954555842e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14898954555842e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14898954555842e-05×40589641000000     		ar = 25981.1113009282m²