Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62032 / 13007
↖ ↑ ↗
← N 72.895418°
E160.751953°		 ← 179.64 m → N 72.895418°
E160.757446°		 →
↑
179.66 m
↓
↑
179.66 m
↓
N 72.893802°
E160.751953°		 ← 179.66 m →
32 277 m²		 N 72.893802°
E160.757446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946540832519531 y=0.198478698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946540832519531 × 216)
    floor (0.946540832519531 × 65536)
    floor (62032.5)     		tx = 62032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198478698730469 × 216)
    floor (0.198478698730469 × 65536)
    floor (13007.5)     		ty = 13007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62032 / 13007 ti = "16/62032/13007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62032/13007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62032 ÷ 216
    62032 ÷ 65536     		x = 0.946533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13007 ÷ 216
    13007 ÷ 65536     		y = 0.198471069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946533203125 × 2 - 1) × π
    0.89306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80565086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198471069335938 × 2 - 1) × π
    0.603057861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.89456214678386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80565086} λ = 2.80565086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89456214678386))-π/2
    2×atan(6.64963620252343)-π/2
    2×1.42153068710053-π/2
    2.84306137420105-1.57079632675     		φ = 1.27226505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80565086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27226505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.895418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62032 KachelY 13007 2.80565086 1.27226505 160.751953 72.895418
    Oben rechts KachelX + 1 62033 KachelY 13007 2.80574673 1.27226505 160.757446 72.895418
    Unten links KachelX 62032 KachelY + 1 13008 2.80565086 1.27223685 160.751953 72.893802
    Unten rechts KachelX + 1 62033 KachelY + 1 13008 2.80574673 1.27223685 160.757446 72.893802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27226505-1.27223685) × R
    2.81999999998117e-05 × 6371000     		dl = 179.6621999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27226505-1.27223685) × R
    2.81999999998117e-05 × 6371000     		dr = 179.6621999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80565086-2.80574673) × cos(1.27226505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294116763555204 × 6371000     		do = 179.642922131497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80565086-2.80574673) × cos(1.27223685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29414371613804 × 6371000     		du = 179.659384439462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27226505)-sin(1.27223685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294116763555204-0.29414371613804)×R²
    abs(2.80574673-2.80565086)×2.69525828354156e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.69525828354156e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.69525828354156e-05×40589641000000     		ar = 32276.5214337762m²