Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62031 / 39377
↖ ↑ ↗
← N 58.146069°
W  9.626770°		 ← 161.16 m → N 58.146069°
W  9.624024°		 →
↑
161.19 m
↓
↑
161.19 m
↓
N 58.144619°
W  9.626770°		 ← 161.16 m →
25 977 m²		 N 58.144619°
W  9.624024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473262786865234 y=0.300426483154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473262786865234 × 217)
    floor (0.473262786865234 × 131072)
    floor (62031.5)     		tx = 62031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300426483154297 × 217)
    floor (0.300426483154297 × 131072)
    floor (39377.5)     		ty = 39377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62031 / 39377 ti = "17/62031/39377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62031/39377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62031 ÷ 217
    62031 ÷ 131072     		x = 0.473258972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39377 ÷ 217
    39377 ÷ 131072     		y = 0.300422668457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473258972167969 × 2 - 1) × π
    -0.0534820556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16801883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300422668457031 × 2 - 1) × π
    0.399154663085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.25398135716105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16801883} λ = -0.16801883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25398135716105))-π/2
    2×atan(3.5042669592094)-π/2
    2×1.29281833987254-π/2
    2.58563667974507-1.57079632675     		φ = 1.01484035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16801883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.626770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01484035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.146069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62031 KachelY 39377 -0.16801883 1.01484035 -9.626770 58.146069
    Oben rechts KachelX + 1 62032 KachelY 39377 -0.16797090 1.01484035 -9.624024 58.146069
    Unten links KachelX 62031 KachelY + 1 39378 -0.16801883 1.01481505 -9.626770 58.144619
    Unten rechts KachelX + 1 62032 KachelY + 1 39378 -0.16797090 1.01481505 -9.624024 58.144619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01484035-1.01481505) × R
    2.53000000001169e-05 × 6371000     		dl = 161.186300000745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01484035-1.01481505) × R
    2.53000000001169e-05 × 6371000     		dr = 161.186300000745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16801883--0.16797090) × cos(1.01484035) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.5277555443939 × 6371000     		do = 161.156504379882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16801883--0.16797090) × cos(1.01481505) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.527777033951545 × 6371000     		du = 161.163066474828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01484035)-sin(1.01481505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5277555443939-0.527777033951545)×R²
    abs(-0.16797090--0.16801883)×2.14895576448049e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14895576448049e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14895576448049e-05×40589641000000     		ar = 25976.7495231677m²