Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62030 / 12981
↖ ↑ ↗
← N 72.937374°
E160.740967°		 ← 179.23 m → N 72.937374°
E160.746460°		 →
↑
179.28 m
↓
↑
179.28 m
↓
N 72.935762°
E160.740967°		 ← 179.25 m →
32 135 m²		 N 72.935762°
E160.746460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946510314941406 y=0.198081970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946510314941406 × 216)
    floor (0.946510314941406 × 65536)
    floor (62030.5)     		tx = 62030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198081970214844 × 216)
    floor (0.198081970214844 × 65536)
    floor (12981.5)     		ty = 12981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62030 / 12981 ti = "16/62030/12981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62030/12981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62030 ÷ 216
    62030 ÷ 65536     		x = 0.946502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12981 ÷ 216
    12981 ÷ 65536     		y = 0.198074340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946502685546875 × 2 - 1) × π
    0.89300537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80545911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198074340820312 × 2 - 1) × π
    0.603851318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8970548655641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80545911} λ = 2.80545911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8970548655641))-π/2
    2×atan(6.66623255198959)-π/2
    2×1.4218968259313-π/2
    2.8437936518626-1.57079632675     		φ = 1.27299733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80545911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.740967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27299733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.937374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62030 KachelY 12981 2.80545911 1.27299733 160.740967 72.937374
    Oben rechts KachelX + 1 62031 KachelY 12981 2.80555499 1.27299733 160.746460 72.937374
    Unten links KachelX 62030 KachelY + 1 12982 2.80545911 1.27296919 160.740967 72.935762
    Unten rechts KachelX + 1 62031 KachelY + 1 12982 2.80555499 1.27296919 160.746460 72.935762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27299733-1.27296919) × R
    2.81399999999543e-05 × 6371000     		dl = 179.279939999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27299733-1.27296919) × R
    2.81399999999543e-05 × 6371000     		dr = 179.279939999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80545911-2.80555499) × cos(1.27299733) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.293416793873558 × 6371000     		do = 179.2340827944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80545911-2.80555499) × cos(1.27296919) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.293443695164462 × 6371000     		du = 179.250515487763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27299733)-sin(1.27296919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293416793873558-0.293443695164462)×R²
    abs(2.80555499-2.80545911)×2.69012909041022e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.69012909041022e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.69012909041022e-05×40589641000000     		ar = 32134.5486375631m²