Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62026 / 39378
↖ ↑ ↗
← N 58.144619°
W  9.640503°		 ← 161.20 m → N 58.144619°
W  9.637756°		 →
↑
161.19 m
↓
↑
161.19 m
↓
N 58.143170°
W  9.640503°		 ← 161.20 m →
25 983 m²		 N 58.143170°
W  9.637756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473224639892578 y=0.300434112548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473224639892578 × 217)
    floor (0.473224639892578 × 131072)
    floor (62026.5)     		tx = 62026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300434112548828 × 217)
    floor (0.300434112548828 × 131072)
    floor (39378.5)     		ty = 39378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62026 / 39378 ti = "17/62026/39378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62026/39378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62026 ÷ 217
    62026 ÷ 131072     		x = 0.473220825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39378 ÷ 217
    39378 ÷ 131072     		y = 0.300430297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473220825195312 × 2 - 1) × π
    -0.053558349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16825852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300430297851562 × 2 - 1) × π
    0.399139404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25393342026143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16825852} λ = -0.16825852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25393342026143))-π/2
    2×atan(3.50409897954218)-π/2
    2×1.29280569013279-π/2
    2.58561138026558-1.57079632675     		φ = 1.01481505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16825852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.640503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01481505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.144619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62026 KachelY 39378 -0.16825852 1.01481505 -9.640503 58.144619
    Oben rechts KachelX + 1 62027 KachelY 39378 -0.16821058 1.01481505 -9.637756 58.144619
    Unten links KachelX 62026 KachelY + 1 39379 -0.16825852 1.01478975 -9.640503 58.143170
    Unten rechts KachelX + 1 62027 KachelY + 1 39379 -0.16821058 1.01478975 -9.637756 58.143170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01481505-1.01478975) × R
    2.52999999998949e-05 × 6371000     		dl = 161.18629999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01481505-1.01478975) × R
    2.52999999998949e-05 × 6371000     		dr = 161.18629999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16825852--0.16821058) × cos(1.01481505) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527777033951545 × 6371000     		do = 161.196691149643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16825852--0.16821058) × cos(1.01478975) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527798523171364 × 6371000     		du = 161.203254510509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01481505)-sin(1.01478975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527777033951545-0.527798523171364)×R²
    abs(-0.16821058--0.16825852)×2.14892198197036e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14892198197036e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14892198197036e-05×40589641000000     		ar = 25983.2271819373m²